基于線性工作點的水下機器人H∞魯棒控制

蘇偉，王俊雄，王震，牛嘯辰

(上海交通大學 船舶與海洋工程國家重點實驗室，上海 200240)

0 引 言

水下機器人（Autonomous Underwater Vehicle,AUV）近年來在海洋工程領域發揮著越來越重要的作用，被廣泛應用在水下設備安裝監控、大范圍海洋監測以及自然資源勘探等領域。由于水下機器人數學模型存在強耦合、強非線性、水動力學系數不確定以及不確定海流干擾等問題，為保證AUV 在復雜環境下能夠正常工作，迫切需要易用且穩定性與魯棒性良好的運動控制方法[1-6]。

AUV 的魯棒控制方法是當前的研究熱點之一，大量的工作主要集中在低自由度AUV 的線性系統控制。B.Clement 通過非線性補償與卡爾曼濾波實現了AUV 單自由度首向角的H∞魯棒控制結構，對比傳統PID 控制具有低過沖、穩定快的優點[7]。Juan C. Cutipa-Luque 在解耦的橫移-首向2DOF AUV 模型上應用H∞魯棒控制策略，取得了較好的控制效果[8]。Wei Zhang等[9]提出插值型H∞魯棒控制器，分別實現了速度、首向及深度控制器并給出了相應的實驗結果，驗證了控制器設計思路的有效性。AUV 單自由度的魯棒控制雖然易于單個控制過程實現，但是忽略了AUV 實際上各自由度間的耦合，在實際應用上容易造成控制器設計邏輯復雜，控制環節無法有效平滑過渡以及控制器參數過多不便校準等問題。為解決AUV 多自由度系統相互耦合、強非線性等問題，本文基于六自由度AUV工作點處的線性化方程，構建適用于魯棒控制的不確定性模型，并據此設計方便實際應用的六自由度H∞魯棒控制器，得到了對應的仿真結果。

1 AUV 六自由度非線性模型

通過對AUV 進行剛體運動及所受外力分析，可以得到AUV 的動力學及運動學模型。為研究方便，本文采用Kambara 外形AUV 的模型進行仿真[10]。AUV 的坐標系定義如圖1 所示，在此坐標系上，隨體坐標系O0-X0Y0Z0到大地坐標系 O -XYZ的速度與角速度變換關系可定義為：

其中η1=[x y z]T， η2=[φ θ ψ]T， v1=[u v w]T，v2=[p q r]T。(x y z φ θ ψ)分別為大地坐標系 X0方 向位置， Y0方向位置， Z0方向位置，橫滾角，縱傾角，首向角；(u v w p q r)分別為隨體坐標系速度與角速度分量。J1(η2) 和J2(η2)分別為速度與角速度轉換矩陣。

圖 1 AUV 坐標系定義Fig. 1AUV coordinate system definition

則AUV 六自由度方程可以簡化為Fossen 形式[11]，且M可逆，AUV 六自由度非線性模型為：

2 六自由度AUV 工作點處不確定性模型

本文所提出的六自由度AUV 不確定性模型建立在AUV 工作點處的線性化方程以及魯棒控制中的加性不確定性模型之上，并最終在頻域上對其進行描述，得到耦合性未丟失且方便處理的多自由度控制模型。

為便于處理，定義模型控制輸入為τe=τ-g(η2)，并且式（9）中C(v)， D(v)分別具有如下形式的非線性項：

式中： mii， dj均為模型常數。對于D(v)中的非線性阻尼項Dn(v)，考慮到AUV 最大速度小于 0 .8 m/s，最大轉動角速度小于0.5 rad/s，通過最大速度界函數Dn(vmax)近似非線性阻尼項使其滿足范數意義下‖Dn(vmax)‖≥‖Dn(v)‖。

將非線性阻尼項 Kd視為模型不確定性因素，不確定性系統 G0可表示為：

將不確定性因素考慮為加性不確定性，則不確定性系統 G0與 標稱系統G 滿足如下關系：

其中Wd(s) 為 描述系統不確定性的界函數， Δ (s)為系統未知攝動。系統加性攝動模型如圖2 所示。

圖 2 AUV 加性攝動模型Fig. 2AUV additive perturbation model

由于本系統為六自由度高階系統，保持結果準確并且降低系統模型復雜性，可通過傳遞函數差值的頻率響應得到滿足要求的2 階加性攝動界函數Wd(s)，使得該界函數滿足：

根據文獻[10]中的六自由度非線性AUV 模型，可得到在工作點 v0處展開的系統參數如下：

為不失一般性，在v0=(0.4 0.4 0.4 0.25 0.25 0.25)工作點處展開，通過式（22）可求得加性攝動界函數Wd(s)。不確定系統在 v0處的奇異值如圖3 所示。

圖 3 六自由度AUV 不確定性系統奇異值Fig. 3Singular values of the six-DOF AUV uncertainty system

3 AUV 線性模型的H∞控制器

本文采用回路成形設計方法得到六自由度AUV 不確定性模型H∞控制器，設計時采用經典的閉環控制結構如圖4 所示。其中r 為參考輸入，d 與n 分別是輸出擾動與傳感器噪聲，y 為系統輸出。

圖 4 閉環控制結構圖Fig. 4The closed-loop control structure

開環傳遞傳遞函數L(s)=G0(s)K(s)，定義敏感函數S(s)=(I+L(s))-1及補敏感函數T(s)=L(s)(I+L(s))-1。敏感函數與補敏感函數滿足S(s)+T(s)=I，則閉環輸入輸出結構中的傳遞函數關系滿足：

得到的控制器K(s)在滿足將系統G0(s)鎮定的同時，根據公式：

1）在低頻段范圍使 | L(jω)|＞＞1，以保證控制器對低頻干擾不敏感且具有良好信號跟蹤能力；

2）在高頻段范圍使 | L(jω)|＜＜1，以保證控制器有良好的高頻噪聲抑制能力。

滿足條件的控制器由如下定理[13]確定：

定理設 G 與 K分別為控制對象與控制器， ζ為全體穩定實有理傳遞函數集合，G(s)G 在 ζ中的一個互質分解。X,Y ∈ζ，滿足XN+YM=1，則使閉環系統內穩定的所有控制器 K的集合為：

其中 Q 為控制器參數。

本文計算得到的控制器用于在v0=(0.4 0.4 0.4 0.25 0.25 0.25)工作點的六自由度AUV 系統，該控制器在回路成形計算時選取了Gd=100/s作為目標曲線進行成形計算，得到控制器K(s)的奇異值如圖5 所示。該六自由度控制器在低頻段具有更大的控制作用以增強系統的跟蹤性能。該控制器求解得到的開環傳遞函數L(s)的結果如圖6 所示，可以看出該曲線很好滿足了開環傳遞函數目標曲線。在低頻段開環傳遞函數的奇異值遠大于1，在頻率大于100 rad/s后開環傳遞函數奇異值開始快速減小以提高對高頻干擾噪聲的抑制能力。

圖 5 給定工作點處六自由度魯棒控制器奇異值曲線Fig. 5The singular value curve of the 6-DOF robust controller at a given operating point

圖 6 開環傳遞函數奇異值曲線Fig. 6Singular value curve of the open-loop transfer function

4 H∞控制器仿真結果

將控制器作用于給定工作點 v0后的六自由度AUV系統，圖7 與圖8 分別給出了作用控制器后閉環系統的敏感函數曲線以及補敏感函數曲線。得到的閉環系統敏感函數在高頻奇異值減小，體現了魯棒控制器在高頻對干擾信號的抑制能力已經得到保證。補敏感函數曲線中低頻段曲線集中在分貝值0 dB 附近，表示系統在低頻段具有良好的參考信號跟蹤能力。而且，低頻段的補敏感函數頻帶較寬，表示控制器具有較好的性能魯棒性。

圖 7 閉環系統的敏感函數曲線Fig. 7Sensitivity function curve of the closed-loop system

圖9～圖11 給出了閉環系統在工作點 v0時，在u 方向輸入0.15 m/s 正弦信號，w 方向輸入-0.15 m/s，同時在u，v，w 方向均施加頻率為30 rad/s，幅值為0.015 m/s 的正弦干擾信號，其余參考信號均為0 的情況下魯棒控制器與PID 控制器六自由度響應對比曲線。從圖中可以看出，魯棒控制器在更短的時間內滿足了階躍信號的輸入要求，并在10%幅值的正弦擾動下仍舊能夠保持穩定性，表示該魯棒控制器具有良好的信號跟蹤能力。通過干擾抑制的數據對比，魯棒控制器相比PID 控制器對高頻干擾有更強的抑制能力。同時，由于本系統為耦合系統，從圖中可以看出非參考信號的自由度之間耦合影響不大，說明該魯棒控制器具有優良的抗干擾能力。

圖 8 閉環系統的補敏感函數曲線Fig. 8Complementary sensitivity function curve of the closed-loop system

圖 9 u 方向對比響應曲線Fig. 9Response curve in u direction

圖 10 v 方向對比響應響應曲線Fig. 10Response curve in v direction

圖 11 w 方向對比響應響應曲線Fig. 11Response curve in w direction

5 結 語

本文通過對自由度間相互耦合、強非線性的AUV模型在工作點附近進行了線性化，給出了該線性化模型的操作過程及結果，并據此建立了適合應用魯棒控制方法的加性不確定性模型。使用回路成形方法得到了對應工作點的魯棒控制器，對閉環系統的仿真試驗取得了良好的控制效果，驗證了回路成形方法設計的魯棒控制器在多自由度AUV 系統中使用的有效性，未來可以針對多個工作點的魯棒控制器連續工作做進一步的研究。