章引言課教學之靈魂
——以“圓錐曲線與方程章引言”教學設計為例

李 芳

（四川師范大學，四川 成都 610066）

1 圓錐曲線與方程（章引言）教學設計

1.1 內容分析

本課是人民教育出版社A版高中數學教材《選修2-1》中第二章“圓錐曲線與方程”的章引言課。教材章引言介紹了圓錐曲線的名稱由來、發展歷史、用途以及坐標法思想。本課目的在于從章引言出發，類比圓的研究方法，建構研究圓錐曲線的基本框架，明確本章學習內容。

1.2 學情分析

學生通過直線與方程的關系，領會了曲線與方程之間的對應關系，又通過圓與方程的學習，初步體會了運用解析幾何研究幾何曲線的過程，建立了用代數方法研究曲線的基本經驗。又通過圓與方程的學習，領會了曲線與方程之間的對應關系，但用代數方法研究相對陌生的圓錐曲線仍是難點。

1.3 教學目標

1）了解圓錐曲線的背景（產生和發展）、應用，感受其中蘊含的數學文化，領悟圓錐曲線研究的必要性和重要性。

2）通過類比圓的研究方法，建立研究圓錐曲線的基本思想方法，領悟圓錐曲線研究的反演（RMI）范式。通過旦德林雙球模型和數學實驗，探究橢圓上的點滿足的幾何條件。

3）通過感受圓錐曲線的文化和感悟思想方法的過程，激發學生的探究樂趣，發展學生的理性精神。

1.4 教學重點、難點

1）建構研究圓錐曲線的基本方法，探究橢圓上的點滿足的幾何條件。

2）領會研究圓錐曲線的基本方法，理解旦德林雙球模型中橢圓的幾何特征。通過類比圓的研究方法和使用自制教具以及動畫直觀顯示模型中的幾何關系來突破教學難點。

1.5 教法、學法

本節課采用“情境引導——類比建構——啟發探究——歸納拓展”等引導探究式教學，注重引、思、探、拓的結合，引導學生觀察思考、操作探究和反思拓展等學習活動。

1.6 教學過程

1.6.1 情境引入

目的：明確圓錐曲線名稱由來和廣泛引用（為什么學）

1）從“嫦娥奔月”的情景和閱讀章引言出發，了解圓錐曲線。

2）圓錐曲線是如何產生的，它與圓錐有什么關系？

引入數學史：阿波羅尼奧斯用一個不過圓錐頂點的平面去截一個對頂圓錐得到四種不同的曲線（用PPT動畫顯示，如下圖）

3）舉例說明在天文物理、生產生活等方面都有圓錐曲線美麗的身影，表現圓錐曲線應用的廣泛性。

1.6.2 方法建構

目的：建構研究圓錐曲線基本方法范式（怎么學）

1）圓與方程。介紹解析幾何思想：借助坐標系，將點與坐標對應起來，曲線與方程對應起來，通過曲線方程來研究曲線的幾何性質。回顧圓與方程的研究方法。

2）圓錐曲線的研究方法。具體如何來研究圓錐曲線呢？借助坐標法將圓錐曲線上任一點的“幾何條件”轉變為“代數關系”，通過代數關系求圓錐曲線的方程，進一步通過圓錐曲線方程的代數性質，研究其幾何性質。

1.6.3 幾何條件的探究

目的：橢圓上的點滿足怎樣的幾何條件（學什么）

1）思考問題：圓錐曲線（如橢圓）上的點滿足什么幾何條件？

研究曲線的起點是要明確曲線上的點所滿足的幾何條件。通過截圓錐得到不同類型的圓錐曲線，只到看到了“形”，這些圓錐曲線上的點應滿足什么幾何條件呢？以橢圓為例，通過數學家旦德林構造的雙球模型來探究橢圓上的點滿足的幾何條件。

2）探究發現：橢圓上的點滿足的幾何條件。

如圖，截面的上下兩個球與橢圓截面及圓錐側面相切利用自制的模型，組織學生進行合作探究以下問題：

問題1：|AE|和|AB|有什么數量關系？

問題2：圖中|BC|為一個定值嗎？

問題3：|AE|+|AF|與|BC|有什么數量關系？

再通過動畫直觀顯示，驗證學生探究出的結果，得出

|AE|+|AF|=|AB|+|AC|=|BC|（定長）。由此，可以得到橢圓上的點滿足如下幾何條件：橢圓上的任意一點到兩個定點的距離之和為一個常數（大于兩定點的距離）。

3）實驗驗證：滿足該幾何條件的點構成橢圓。

思考問題：滿足該幾何條件的點能構成橢圓嗎？

第一步：在圓上任取一點P1，過P1翻折紙片，使其過定點F2，然后將紙片展開，用鉛筆勾畫出折痕；

第二步，在圓上任取其他點，重復步驟一，就可以畫出一系列的折痕。這些折痕將“包出”一個橢圓。為什么這樣可以“折出”橢圓呢？讓同學課后操作后進行探究。

1.6.4 課堂小結

通過本節課的學習，明白了圓錐曲線一章“為什么學、學什么以及怎么學”的主題。探究圓錐曲線的幾何性質是目的，幾何定義和代數方程是兩個焦點，核心方法是坐標法，數學文化和數學應用是連接圓錐曲線和幾何性質的拓展，結構圖如下：

1.6.5 作業拓展

查閱資料，以“奇妙的圓錐曲線”為題，寫一篇數學作文或課題小論文，表達你對圓錐曲線及其研究方法的認識、理解。如果是數學作文，可以發揮想象，將數學和藝術聯系起來，寫出圓錐曲線之美，之用；如果是課題小論文，請注意包括：選題、開題、做題和結題幾個環節，寫出數學探究的價值。

2 章引言課教學之靈魂

2.1 有思想

章引言課教學之靈魂之一是“有思想”。所謂的“有思想”是指區別于常規教學的獨特思考和想法。不少教師認為章引言課沒有必要上，或者上也是一語帶過，可想便是忽略了其中的思想。思想是一種靈魂，所以沒有思想的教學是一種沒有靈魂的教學。而教學的思想決定了一節課的教學目標，教學目標決定了教學的方法，有了思想便有了目標，有了目標便有了方法，有了方法，數學教學就顯得簡單而不失深度。譬如，以上這篇“圓錐曲線與方程章引言”的教學設計，以“是什么”“為什么學”“學什么”“怎么學”為線索，以解析幾何的思想貫穿其中，從思想到方法，形成研究圓錐曲線的映射反演范式，將圓錐曲線的學習與研究統一起來。同時，也彰顯數學的一種嚴謹與和諧之美。

2.2 有文化

章引言課教學之靈魂之二是“有文化”。所謂的“有文化”是指數學文化。眾所周知，數學已被不少學生添上了“枯燥”“乏味”等標簽，認為數學課與文化課水火不容，其實不然?！镀胀ǜ咧袛祵W課程標準》指出：“數學文化應盡可能有機地結合高中數學課程的內容，選擇介紹一些對數學發展起重大作用的歷史事件和人物，反映數學在人類社會進步、人類文明發展中的作用，同時也反映社會發展對數學發展的促進作用?！边@在以上這篇“圓錐曲線與方程章引言”教學設計中，體現得淋漓盡致。充分利用數學史介紹圓錐曲線的名稱由來，領會研究圓錐曲線思想方法的發展。數學文化重回數學課堂，感知數學之魅力。

2.3 有創新

章引言課教學之靈魂之三是“有創新”。所謂的“有創新”是指以現有的思維模式提出有別于常規或常人的思路的見解為導向，利用現有的知識和物質，去改進或創造新的事物、方法和途徑，并能獲得一定的效果。比如，在本文的“圓錐曲線與方程章引言”教學設計中，充分利用現代技術的幾何軟件直觀形象地展現圓錐曲線的名稱由來，并結合直觀的教具模型（旦德林雙球模型）讓學生探究圓錐曲線的幾何性質，培養學生的探究意識與創新精神。