粉體攪拌扭矩的試驗及關聯式

謝明輝，周國忠，楊超

（1 中國科學院過程工程研究所，中國科學院綠色過程與工程重點實驗室，北京100190；2 浙江長城攪拌設備股份有限公司，浙江溫州325019）

粉體是無數相對微小的顆粒集合體，一般直徑在幾納米到幾百微米之間。粉體在不同受力情況下，能夠呈現固體的靜止狀態、液體的流動性或氣體的擴散性。但是粉體又不同于液體或氣體，也不完全同于固體。攪拌設備在石化、化纖、精細化工、醫藥、食品、冶金等行業的粉體混合過程有諸多應用[1?2]，包括在有放料困難的料倉中的應用[3]。

對于液體攪拌設備，關于攪拌功率的計算已有大量的文獻報道[4]，除少量特殊的攪拌外，基本已有攪拌功率的計算公式。對于攪拌槽內粉體攪拌扭矩和功率耗散的研究也一直都在進行[5?8]。為了更深入了解攪拌槽內粉體顆粒的運動情況，近年來研究者引入了一系列的粒子運動測量技術，如光纖探針法、照相法、粒子成像測速技術（PIV）、正電子追蹤技術（PEPT）等[9?12]。每種測量技術都存在不同程度的缺陷，隨著計算流體力學的發展，數值模擬的方法也同樣被用于粉體攪拌研究，顆粒混合模型可分為連續介質模型、離散顆粒模型和流體擬顆粒模型等，目前絕大多數采用計算流體方法（CFD）耦合離散元方法（DEM）對粉體的攪拌進行模擬[13?18]。

Knight 等[5]在立式攪拌槽中研究粉體攪拌扭矩的影響因素，采用圓盤槳和平直葉槳，研究物料為沙子。利用PEPT 技術來觀察攪拌槽內的粉體流動，并對扭矩進行了量綱為1化。研究發現：對于圓盤槳，量綱為1化扭矩與轉速無關。對于平直葉槳，量綱為1扭矩與槳葉Froude數和槳葉葉片寬度有關。Chertkiattipol 等[19]研究了農耕機械翻地過程的扭矩和功率消耗，研究對象是沙土和黏土，采用了多國不同形狀的旋轉刀片進行試驗，通過兩個交錯的應變力測量儀測量扭矩。研究表明旋轉刀片的形狀影響槳葉的扭矩，并且產生的扭矩呈現一定程度的周期性變化。Gijón?Arreortúa 等[20]采用臥式雙螺帶槳型研究了玉米粉和糖的混合過程及功率消耗。功率消耗通過扭矩傳感器測量扭矩獲得。功率消耗與粉體的物理性質（堆密度、摩擦系數）、槳型參數（攪拌區體積、槳葉長度）以及操作參數（裝料系數、攪拌轉速）密切相關，并進行了很好的關聯。Simons 等[7]采用立式雙螺帶研究兩種不黏結粉體物料的混合過程。對于不同的粉體高度和多種測試的粉體物料進行了扭矩的測試。研究發現：在Froude數Fr=0.17～1.1范圍內，旋轉速度對于扭矩影響較小。Bao 等[21]通過試驗研究直葉平槳、下壓式斜槳以及上翻式斜槳的粉體攪拌的扭矩及混合過程，并采用計算流體力學耦合DEM 模型進行粉體攪拌過程數值模擬獲得攪拌扭矩和混合效率。通過選取合適的模型參數，扭矩模擬值與試驗值的誤差小于10%。

總的來說，相比于流體混合，粉體混合的過程更為復雜，關于粉體攪拌的認識不是很充分，對于粉體攪拌過程中采用的不同攪拌器的扭矩、功率計算比較缺乏，因此對于很多粉體過程的工業放大還存在困難。高純氫氧化鋁作為阻燃劑和催化劑，廣泛應用于橡膠及塑料中。本文采用氫氧化鋁粉體，研究了3種攪拌槳型在不同操作條件下的攪拌扭矩的規律，并建立扭矩關聯式和受力模型，為工業放大提供基礎。

1 設備和方法

試驗用攪拌裝置見圖1，攪拌槽的直徑D=480mm。電機功率為3kW，采用變頻器調節轉速。采用Turck 測速儀測量轉速，扭矩傳感器（航天701所AKC?205系列）測量攪拌器的扭矩。試驗所用的攪拌器見圖2，采用了3 種攪拌器型式：四葉開啟渦輪式XCK，直徑d 為348mm 和290mm；二葉管形槳GXJ，直徑d為348mm和232mm；二葉直槳PJ，直徑d為348mm和232mm。

試驗粉體為氫氧化鋁（淄博齊茂催化劑有限公司提供），其真密度2400kg/m3，粉體堆密度為352kg/m3，粉體粒徑d50為4.89μm。

圖1 試驗用攪拌裝置

圖2 試驗用攪拌器

試驗過程分為三部分：第一部分是固定攪拌器的離底高度，調節不同的粉料高度，采用XCK348、XCK290、PJ348、GXJ348 攪拌器進行試驗。測量不同轉速下的扭矩，并觀察其攪拌的效果；第二部分是采用XCK290攪拌器，調節不同的攪拌器離底高度和粉體高度，測量不同轉速下的扭矩；第三部分是采用兩層攪拌器組合，調節不同的層間距來進行試驗，采用的槳葉是兩層PJ232攪拌器，測量不同轉速下的扭矩，并且與單獨安裝的兩個攪拌器的扭矩累加進行對比。攪拌器數據、攪拌離底高度和粉體高度見表1。

表1 攪拌器參數、離底高度和粉體高度

2 結果與討論

2.1 粉體高度對攪拌器扭矩的影響

圖3 不同攪拌器的扭矩與轉速的曲線

采用XCK348、XCK290、PJ348、GXJ348 攪拌器進行試驗。4個攪拌器的離底距離C都是30mm，粉體高度H 不斷增加，分別為105mm、200mm 和250mm，對應的H/D 為0.22、0.42 和0.52。試驗過程中攪拌槳葉都埋在了粉體內。測量不同轉速下的攪拌器扭矩，試驗獲得的攪拌器扭矩結果見圖3。攪拌器的扭矩隨著粉體高度的增加而增加。不同攪拌器的扭矩增加的幅度不一樣，增加幅度從高到低的排序是：XCK348＞GXJ348＞PJ348＞XCK290。相同工況下攪拌的扭矩隨著轉速的升高會有所降低，推測是隨著轉速的增加粉體摩擦系數會降低，不同的攪拌器扭矩下降的幅度也不一樣，XCK348的扭矩下降最快，XCK290的扭矩下降最慢。從試驗攪拌效果看，攪拌器攪拌不到的地方粉體基本不動。粉體高度比較低的時候，粉體表面有被攪動，隨著粉體高度的增加，不同攪拌器的粉體表面的動靜不一樣；對于XCK290 攪拌器，粉體高度變高后，表面基本處于靜止狀態，攪拌扭矩增加非常小，因為攪動的范圍增加比較小；攪拌器XCK348、GXJ348 和PJ348 在粉體高度變高后，表面還依然有比較大的攪動，特別是GXJ348攪拌器。

2.2 攪拌器離粉體表面的高度對攪拌扭矩的影響

前面的試驗發現粉體高度和轉速對攪拌扭矩有影響，其中粉體高度影響比較大。為了進一步了解粉體高度對攪拌扭矩的影響，采用XCK290攪拌器進行了兩個工況的試驗，一個工況是攪拌器離底距離30mm、粉體高度為200mm，另一個工況是攪拌器離底270mm、粉體高度為450mm。測量不同轉速下的攪拌扭矩結果見圖4，第2 種工況的攪拌扭矩和第1 種工況的攪拌扭矩比較接近，稍微高一點。由此說明粉體高度對于攪拌扭矩影響，主要是和攪拌器離粉體表面的高度H?（H?=H?C）有關。

圖4 XCK290攪拌器扭矩與轉速

2.3 層間距對雙層攪拌器組合扭矩的影響

采用兩層PJ232攪拌器組合，調節不同的離底高度和層間距，測量不同轉速下的攪拌扭矩。粉體高度H 為450mm，進行了3 種試驗工況，第1 種是底層攪拌器離底C1=105mm，層間距ΔC=165mm，層間距與攪拌器直徑之比ΔC/d=0.71；第2 種工況是底層攪拌器離底C1=105mm，層間距為90mm，ΔC/d=0.39；第3 種工況是底層攪拌器離底C1=270mm，層間距為75mm，ΔC/d=0.32。同時，對相同離底高度的單層攪拌分別進行扭矩測試。獲得的試驗結果見圖5，分析發現間距較大時，兩層攪拌器組合的扭矩稍微大于單獨的攪拌器累加的扭矩，基本上可以認為兩層攪拌器組合，互相不受影響。隨著層間距的減小，兩種方式測得的攪拌扭矩的差距逐漸在減小，當ΔC/d=0.32時，單獨的攪拌器累加的扭矩比兩層攪拌器組合的扭矩大。說明兩層攪拌器組合有相互作用。

圖5 雙層PJ攪拌器扭矩與轉速

3 扭矩關聯式

3.1 量綱分析法

根據試驗結果結合相關文獻[5,10,22]報道，發現扭矩Tq(N·m)與槳葉直徑d(m)、葉片寬度w(m)、槳葉下端距粉體表面的高度H?(m)、攪拌轉速n(r/s)，粉體的堆密度ρ(kg/m3)以及重力加速度g(m/s2)有關。假設扭矩公式如式(1)。

式中，k 為系數，a、b、c、j、e、f 皆為指數。將式中的物理量用動力學中的基本量綱表示，這些基本量綱為質量量綱（M)、長度量綱（L）、時間量綱（T）。得出量綱表達式如式(2)。

當然扭矩還與葉片數、葉片的角度等因素[17]有關，針對特定的槳型，這些因素包含在系數k 里。公式左邊各個量的指數值等于公式右邊各個量的指數值。

L: 2=b+c+j?3e+f

M:1=e

T: 2=a+2f

將指數關系式代入式(1)并整理得到扭矩值的量綱為1化公式如式(3)。

通過最小二乘法擬合的結果見表2，指數f 都是大于1，說明扭矩是隨著轉速的增加，會有所下降，和試驗結果相吻合。對于特定的攪拌器，扭矩主要受攪拌器離粉體表面的高度和Froude 數（Fr=n2H′/g）的影響。

表2 經驗模型參數估計值

3.2 模型分析法

固體物料在攪拌器的作用下，可以采用簡化的模型來分析其運動規律及運動過程中的受力情況。本文考慮的情況是粉體全部覆蓋住槳葉，在槳葉攪拌不到的區域認為粉體是靜止的，運動區域的粉體以相同的角速度運轉。

通過受力分析認為消耗的扭矩（Tq），主要由摩擦力產生扭矩（Tqi）和慣性力所產生的扭矩（TqⅣ）兩部分組成。而摩擦力產生的扭矩又由粉體集合體側面摩擦力所產生的扭矩（TqⅠ）、上表面摩擦力產生的扭矩（TqⅡ）、下表面摩擦力產生的扭矩（TqⅢ）所組成。針對有對粉體提升的槳型，還有重力產生的扭矩，本文采用的攪拌器為槳式和管式，可以不予考慮。因此攪拌器的扭矩表達式如式(4)。

（1）側面摩擦力產生的扭矩（TqⅠ）

首先，對模型建立坐標系，如圖6所示，以攪拌槽底圓心為原點，垂直方向為z軸，水平方向為x軸。n（r/s）為攪拌槳轉速，n′（r/s）為攪拌槳周圍粉體集合體的轉速，本模型認為兩者的關系為：n?=Kn，其中K 為常數。μ1為旋轉粉體集合體側面與其周圍靜止的粉體之間的摩擦系數。側面微元所產生的摩擦力dFⅠ為曲面微元面積πddz、壓強ρg(H?z)與摩擦系數μ1的乘積。摩擦功率等于微元摩擦力dFⅠ乘以速度πn?d的積分［式(5)、式(6)］。

（2）上表面和下表面摩擦力產生的扭矩（TqⅡ和TqⅢ）

圖6 摩擦產生扭矩計算

旋轉粉體集合體上表面取環狀微元dsⅡ（圖6），環狀微元所產生的摩擦力dFⅡ為環狀微元面積2πxdx、壓強ρg(H?C?w)與摩擦系數μ2的乘積。摩擦功率PⅡ等于微元摩擦力dFⅡ乘以旋轉粉體集合體的速度2πn?x的積分，如式(7)、式(8)。

同理可以獲得下表面摩擦力產生的扭矩TqⅢ，如式(9)。

式中，μ3為旋轉粉體集合體的下表面與其下方靜止粉體之間的摩擦系數。假設μ1=μ2=μ3=μ。

（3）慣性力產生的扭矩（TqⅣ）

攪拌槳葉區域的粉體在離心力作用下會與外部粉體進行交換，外部粉體進入攪拌槳葉區域，并且達到槳葉區域內粉體的速度，克服慣性力需要消耗功率。慣性力FⅣ等于沖量變化（Mtr·Δv）除以時間t，表達式如式(10)。

粉體交換量Mtr與旋轉粉體集合體的側面積（πdw）、速度（πdn?）、時間(1/n?)、粉體堆積密度ρ 成正比，且假設比例系數為KⅠ，得到式(11)～式(13)。

慣性力

由慣性力所消耗的功率

由慣性力產生的扭矩

對于XCK攪拌器的寬度w，按投影到垂直方向的長度計算。

擬合結果見表3，擬合出來的KⅠ是負值，說明隨著轉速的增加，扭矩會減少，和試驗結果類似，但是得到的慣性力是負的，于是提出了另外一種計算慣性力的模型（圖7）。假設攪拌旋轉過程中，由于離心力而進行的粉體交換是從槳葉葉端側面和下方排出，粉體從槳葉的上方補入。選取槳葉區域里的一個環柱微元dv，環柱微元的體積（2πxdx·w），環柱微元的質量為環柱微元體積乘以粉體密度（2πxdx·w·ρ），環柱微元所產生的慣性力dFⅣ為環柱微元質量乘以速度（2πx n′）除以時間（1/n′）。慣性力功率等于環柱微元慣性力dFⅣ乘以旋轉粉體的速度（2πxn?）的積分［式(14)～式(16)］。

表3 受力分析模型參數估計值

圖7 慣性力產生扭矩計算

由式(13)和式(16)相等，推導出KⅠ=0.0398。

通過受力分析以及摩擦系數相關文獻的報道[23?24]，推測摩擦系數會受攪拌轉速的影響，假設其關系見式(17)。

擬合結果見表4，結果表明摩擦系數與轉速的關系是非線性的，轉速越小，摩擦系數越大。并且不同的攪拌器型式，摩擦系數也不一樣。

表4 受力分析模型參數估計值

4 結論

通過采用氫氧化鋁粉體進行不同攪拌器的扭矩試驗，獲得以下結論：攪拌器的扭矩隨著粉體高度的增加而增加。攪拌器的扭矩增加幅度從高到低的排 序 是： XCK348＞GXJ348＞PJ348＞XCK290。GXJ348 攪拌器隨著粉體高度的增加，攪動效果較好。相同工況下攪拌的扭矩隨著轉速增加有所下降。攪拌扭矩主要是和攪拌器離粉體表面的高度有關。對于攪拌器組合，當間距較大時各層攪拌器互相不影響；當層間距ΔC/d＜0.32時，各層攪拌器存在相互作用。通過對扭矩的量綱分析，獲得了3種攪拌器型式的扭矩關聯式，即指數k 和f 受攪拌器型式影響，對于特定的攪拌器，扭矩主要受攪拌器離粉體表面的高度和Froude 數的影響。通過受力分析，獲得了扭矩模型，即

其中μ=KⅡnβ，摩擦系數與轉速成非線性關系，轉速越小，摩擦系數越大。本論文的適用范圍為H?/d＜1的情況。

符號說明

a,b,c,j,e,f —— 指數

C —— 槳葉離底高度，m

D —— 罐體直徑，m

d —— 槳葉直徑，m

F —— 作用力，N

g —— 重力加速度，m/s2

H —— 粉體高度，m

H′ —— 槳葉下端距粉體表面的高度，m

K,k —— 系數

L，M，T —— 長度、質量、時間量綱

Mtr—— 粉體交換量，kg

N,n —— 攪拌轉速，r/s

n′ —— 攪拌器周圍粉體集合體的轉速，r/s

P —— 功率，W

S —— 面積，m2

Tq—— 扭矩，N·m

t —— 時間，s

V —— 體積，m3

v —— 速度，m/s

w —— 槳葉寬度，m

x,y,z —— 坐標

β —— 指數

μ —— 摩擦系數

ρ —— 粉體堆密度，kg/s

π —— 圓周率