駐點或拐點不確定情況下的函數作圖

泉州海洋職業學院 福建 泉州 362700

一 、引言

利用導數研究函數的性態，進而作出函數的圖象，其一般步驟如下[1-2]：

第一步，確定函數f(x)的定義域及函數所具有的某些特性(如奇偶性、周期性等)，并求出函數的一階導數f′(x)和二階導數f″(x)；

第二步，求出一階導數f′(x)和二階導數f″(x)在函數定義域內的全部零點，并求出函數f(x)的間斷點及f′(x)和f″(x)不存在的點，用這些點把函數的定義域劃分成幾個部分區間；

第三步，確定在這些部分區間內f′(x)和f″(x)的符號，并由此確定函數圖形的升降、凹凸和拐點；

第四步，確定函數圖形的水平漸近線、鉛直漸近線以及其他變化趨勢；

第五步，算出f′(x)和f″(x)的零點以及不存在的點所對應的函數值，定出圖形上相應的點；為了把圖形描繪得更準確些，有時還需要補充一些點，然后結合第三、四步中得到的結果，聯結這些點畫出函數f(x)的圖形。

但是，對于有些函數來說，第二步中“求出一階導數f′(x)和二階導數f″(x)在函數定義域內的全部零點”并不容易，甚至無法實現，因此用上述辦法就無法作出這類函數的圖象。如果通過其它方式，能探索出函數的某些特性，據此，也可作出函數的圖象。

二、研究函數，x∈(-∞，1)的性態并作出其圖象

第一步，函數f(x)在(-∞，1)上有定義，連續，可導，f(0)=0，f′(x)=

第二步，令f′(x)=0，即，此乃超越方程，不好求解，故f(x)的駐點不好求。但通過觀察容易發現x=0是此方程的一個根，即x=0是函數f(x)的一個駐點，其它駐點未知。令f″(x)=0，即0，此方程也是超越方程，不好求解，故f(x)的拐點也不好求出。為此，用已知的駐點x=0將函數f(x)的定義域劃分為(-∞，0)和(0，1)兩個區間。

第三步，在區間(-∞，0)上，f′(x)和f″(x)的符號不好判斷，它們的零點也不好求出。在區間(0，1)內，易證f′(x)＜0，f″(x)＜0，故f(x)在(0，1)內下降而且是凸的。

下面研究f(x)在區間(a，b)上的性態。由f(x)在(a，b)上的連續性，可導性，故f(x)在(a，b)上是一段光滑的連續曲線，并且曲線的變化趨勢從單調下降連續光滑地變為上升到充分接近于原點。在此過程中，曲線由凸弧變為凹弧又變為凸弧，即會出現2個拐點，設拐點的橫坐標分別為x1和x2(令x1＜x2)，并且在凹弧段會出現一條水平切線，設其切點橫坐標為x3，則x1＜x3＜x2，即函數f(x)會有第2個駐點x3。

第五步，根據前四步分析的結論，作出函數f(x)的圖象。

作為檢驗，用matlab畫出函數f(x)的圖象，如圖1和圖2所示，數字仿真的結果完全符合上述的分析。本例中，雖然a，b，x1，x2，x3的準確位置未知，但可以判定它們的確存在，如圖2所示。

圖1 函數f(x)的圖象

圖2 函數f(x)局部放大后的圖象

三、結論

導數是研究函數的有力工具，通過導數可以刻劃函數的性態，進而為函數作圖提供依據。當函數的駐點、拐點不容易獲得時，可以通過判斷其存在性，為函數作圖提供幫助。