子環與理想的應用

韓榮梅 內蒙古科技大學包頭師范學院數學科學學院

子環與理想子環在具體的解題實例中有怎么樣的應用。首先最基本的解題應用就是給定一個環R，從中找到相應的子環與理想，這時就結合了判定子環的充要條件：或者是結合判定理想的充要條件：

在理想中，主理想是非常重要的一部分，題型中往往會涉及證明給定一個確定的環R，然后證明兩個主理想間是否具有相等的關系。這時，往往還是回歸到理想的定義進行求解。當然，素理想與最大理想也是其核心內容，在具體的實例也有重要和廣泛的應用。比如給定一個環，讓你在其中找出素理想或者是極大理想。這時我們就要聯系構造素理想或者是極大理想的充要條件來進行判定。

一、關于基本定理的應用

定理1：P 是有單位元的交換環R 的一個理想，則P 是R 的素理想當且僅當R/P 是整環。

定理2：M 是有單位元的交換環R 的一個理想，那么M 是R 的最大理想當且僅當D/M 是域。

例1：一個環R 的兩個子環S1與S2的交仍為R 的子環。

二、證明一個理想的充要條件與主理想的應用

如果我們假設環R 是一個整數環，證明（3，7）與（1）這兩個主理想相等。

解決這個題目的核心還是要用到判定一個理想的充要條件，而我們可以把主理想（1）可以看成是R，即有（1）=R。

證明：因為（3，7）是R 的理想，而R又是整數環，所以存在使得又因為所以有就有而R=（1），所以就有并可最終推出（3，7） =（1）。

三、素理想與極大理想的判定的應用

去找出一個環的素理想與極大理想，這時我們首先應當掌握的是這個環的特性，是屬于整數環，是屬于模剩余類環還是屬于其它類型的環。

進而我們再根據構成素理想或者是構成極大理想的定義來進行判斷。例如我們可以比較容易判斷得出單位理想必定是一個素理想。而當R 是無零因子的交換環時，零理想也是素理想。而如果一個環R 中只包含平凡理想，則零理想就是R 的最大理想。以及還可以根據如果p 是一個素數，那么（p）也是整數環Z 的素理想與果p 是一個素數，那么（p）是整數環Z 的最大理想。

如：找出整數環Z 與模12 剩余類環Z12的所有最大理想與素理想。

解：通過上述我們易知

Z 的素理想是：{0}， Z， （p） 其中p 是素數

Z 的極大理想是：（p）其中p 是素數

Z12的素理想是：{[0],[3],[6],[9]}，{[0],[2],[4], [6], [8], [10]}，Z12

Z12的極大理想是：{[0],[3],[6],[9]}，{[0],[2], [4], [6], [8], [10]}。

四、素理想與極大理想的相關定理的具體應用

I：M 是有單位元的交換環R 的一個理想，那么M 是R 的最大理想當R/M 且僅當是域。

II：P 是有單位元的交換環R 的一個理想，則P 是R 的素理想當且僅當R/P 是整環。

這兩個定理在實際的解題與運用往往也是十分重要。

如證明R/M 是域，這樣在一定的條件下我們只需把問題轉化為證明M 是R 的最大理想即可。

如：假定R 是由所有復數a+bi（a,b 是整數）所做成的環，證明D / （1+i）是一個域

證明：這時我們就可以把題目轉換成為證明（1+i）是R 的一個極大理想。

五、理想與商環在同態基本定理上的應用

在之前我們已經知道，如果f 是環R 到R′環的同態，則我們可以得到同態的基本定理I：Ker f 是R 的理想；II：R/Ker f 與f的像Im f 同構

所以，通過聯系理想與商環，在解決同態問題或者是同構問題上也有很好的實際應用。

如：證明Gauss 整數環Z[i]同構于Z[i]/（x2+1）

六、商域的判定在解題中的應用

那么判定一個域F 是否為環R 的商域就應當運用商域的判定定理來解決實際問題。

如：證明實數域R 不是整數環Z 的商域