一類具有非線性傳染率和治愈率的SIR模型的行波解

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1 引言

醫療措施是實際傳染病防治中阻止和控制疾病傳播的有效方法．下面我們考慮一類具有治愈函數的傳染病模型,其中疾病發生率和治愈函數分別為具體我們考慮下面的SIR模型

其中b表示易感染者和移出者的自然出生率及死亡率．δ表示染病者的死亡率及出生率．γ表示染病者的自然恢復率．q為垂直傳染率,且p＝1－q．S和R的新生兒為易感染者,并且I的新生兒中未被垂直傳染的那部分也為易感染者．以上參數均為正數．疾病的發生率是一個非線性函數,β為正常數,用來描述疾病的感染率,α是半飽和常數,且α≥0．非線性項,k＞0,μ≥0為飽和治愈函數,其中k表示治愈率,μ用來衡量染病者由于延遲治療而導致治愈效果受影響的效應,在這里我們假設μ≤1．d1,d2,d3為擴散系數．

對于該模型,我們給出以下假設

下面我們將證明,在(A．1)、(A．2)、(A．3)條件下,(1．1)具有連接從無病平衡點到地方病平衡點的行波解．

2 行波解的存在性

把 (1．1) 三 個 方 程 相 加, 得 到由 (A．3),可進一步得到在該假設下,總人口N是一個常數,為方便起見,不妨再假定N＝1,這樣一來S,I和R就變成了易感染者、染病者和移出者各自在總人口中所占的比例．通過變換S＝1－I－R,系統 (2．1)的后兩個方程就不再包含S．因此系統 (2．1)等價于下面的2維系統

顯然,(2．2)始終有一個無病平衡點E0(0,0)．并且,如果滿足條件(A．1),則由下面的方程

可以解得(2．2)還存在唯一的地方病平衡點E?＝(I?,R?),其中

接下來,我們使用[1]中的方法證明 (2．2)具有連接 平衡點E0和E?的行波解．

3 對結論的一些說明