證明時(shí)空Rn的最大維度是4

李玉發(fā) 李宇航

1．廣東省惠州市第一中學(xué) 廣東 惠州 516001;2．澳大利亞國(guó)立大學(xué)碩士研究生精算專(zhuān)業(yè)2019屆

(1)易點(diǎn)宇航法則:J4n＋k＝ik(n,k∈N,k≤3)

(2)航易方程:1＋J24n＋m＝0,J4n＝1,J4n＋m＝Jm,n∈N,m∈N＋,m≤3

(3)H(航)－F(發(fā))無(wú)限數(shù)維有限類(lèi)形結(jié)論:

①Rn?R4,②Rn的最大維度是4唯,③Jn的最大維度是3唯

一、基本原理[1]

定義1n維的時(shí)點(diǎn)Pn＝(x0,x1,···,xn－1)(n∈N＋,xk∈R,k∈N),P0＝(x0)＝x0

定義2 零點(diǎn)On:O0＝Φ,O1＝(0)O2＝(0,0),O3＝(0,O2),…,On＝(0,On－1)．

定義3 數(shù)光點(diǎn)Tn:T1＝(1),T2＝(0,1),T3＝(0,0,1),…,Tn＝(On－1,1)．

形光點(diǎn)Jn:J0＝(1),J1＝(0,1),J2＝(0,0,1),…,Jn－1＝(On－1,1)．

有結(jié)論:Tn＋1＝Jn(n∈N)

定義4 升維:(n,k∈N,xk∈R,)

1)x0＝(x0)＝(x0,0)＝(x0,02)＝(x0,0k)．

2)(x0,x1)＝(x0,x1,0)＝(x0,x1,02)＝(x0,x1,0n)．

3)(x0,x1,···,xn)＝(x0,x1,···,xn,0)＝(x0,x1,···,xn,0k)．

定義5 關(guān)于形時(shí)空間Jn與數(shù)時(shí)空間Tn,有

當(dāng)n＝4m＋j,m∈N,j＝0(1,2,3),Jn是m級(jí)的點(diǎn)(線(xiàn),面,體)形時(shí)空．

二、具體應(yīng)用

定義6 易點(diǎn)列Tn:T0＝On,T1＝(1),T2＝(0,1)＝(0,T1),T3＝(0,0,1)＝(0,T2),

——,Tn＋1＝(On,1)＝(0,Tn)。(n∈N?)(? 表示一一映射)則有

1)一維實(shí)點(diǎn)T1＝(1)＝(1,On)?1,實(shí)數(shù)J0＝i0＝1?T1。

2)二維復(fù)點(diǎn) (x,y)?x＋yi,x,y∈R,i2＝－1,i－1＝－i

T2＝(0,1)?0＋i＝i,復(fù)數(shù)J1＝i1＝i?T2。

T3＝(0,T2)?(0,J1)＝0＋J1i＝ii＝i2＝J2＝－1,復(fù)數(shù)J2＝i2＝－1?T3。

T4＝(0,T3)?(0,J2)＝0＋J2i＝i3＝J3＝－i,復(fù)數(shù)J3＝i3＝－i?T4。

T5＝(0,T4)?(0,J3)＝0＋iJ3＝ii3＝i4＝J4＝－1,復(fù)數(shù)J4＝i4＝1?T5。

定義7 易點(diǎn)列Tn:T0＝On,T1＝(1),T2＝(0,1),T3＝(0,0,1),

——,Tn＋1＝(On,1)＝(0,Tn)。(n∈N?)(?表示一一映射)

則有(易點(diǎn)的虛－－－實(shí)法則):

1)實(shí)數(shù)1?T1＝(1),實(shí)數(shù)1＝J0＝i0＝T1。

2)虛數(shù)i＝J1?(0,1)＝T2,虛數(shù)i＝J1,i2＝－1,i－1＝－i。

定義8 (發(fā)易FT法則):

(1)易點(diǎn)列Tn:Tn＝(0n－1,1)(n∈N?),(? 表示一一映射)則。

易點(diǎn)列T1＝(1)?1＝i0,T2＝(0,1)?i,T3＝(0,0,1)?i2,

——,Tn＝(0n－1,1)?in－1

(2)發(fā)點(diǎn)列Fn＝(in－1)＝in－1T1(n∈N?),則Fn＋1＝iFn。則Fn＝Tn(n∈N＋)

結(jié)論1[2]:

(1)易點(diǎn)宇航法則 :J4n＋k＝ik(n,k∈N,k≤3)

(0n,1)?Jn,n∈N,虛數(shù)i滿(mǎn)足:i?(0,1),i2＝－1

J0＝i0＝1?(1)＝T1,J0稱(chēng)是點(diǎn)量,

J1＝i1?(i)＝iT1＝T2,J1稱(chēng)是線(xiàn)量,

J2＝i2?(i2)＝i2T1＝T3,J2稱(chēng)是面量,

J3＝i3?(i3)＝i3T1＝T4,J3稱(chēng)是體量,

Jn＋1＝iJn＝iin＝in＋1?(0n,i)＝i(0n,1)＝iTn＋1＝in＋1T1,稱(chēng)Jn是易量,綜合上面易點(diǎn)的宇航法則:J4n＋k＝ik?Tk＋1＝ikT1(n∈N,k∈N＋)

(2)航易方程:1＋J24n＋m＝0,J4n＝1,J4n＋m＝Jm,n∈N,m∈N＋,m≤3

(3)宇航易點(diǎn)方程(n∈N＋,m∈N)

易點(diǎn)有五大類(lèi):T0＝On＝Φ(0維的原點(diǎn)),T4n＋1＝T1(一維線(xiàn)點(diǎn))T4n＋2＝T2(二維面點(diǎn)) ,T4n＋3＝T3(三維體點(diǎn)),T4n＋4＝T4(四維時(shí)點(diǎn))。

T4n＋m＝Tm,T4＋0＝T0?結(jié)論:4維的時(shí)點(diǎn)＝0維的原點(diǎn)

定義9 (n,m∈N)(m∈N,m≤3)

(1)易量有五大類(lèi)

J4n＝J0＝i0＝1(0維的點(diǎn))?T1,J4n＋1＝J1＝i(1維的線(xiàn))?T2,

J4n＋2＝J2＝i2＝－1(2維的面)?T3,J4n＋3＝J3＝i3＝－i(3維的體)?T4。

J4n＋4＝J4＝i4＝1(4維的時(shí)間)?T5

Jm＝im(m維的易量)?Tm＋1

(2)易量的運(yùn)算法則:

(3)J4n＋m＝Jm,J4＋0＝J0?結(jié)論:4維的時(shí)間＝0維的點(diǎn)元

(4)易量與易點(diǎn)的轉(zhuǎn)換法則:(?表示一一映射)

定義10 [Rn升降維法則－－－F(發(fā))升維法則]

稱(chēng)P0＝Φ為0維(極)空間,稱(chēng)Pn為0維(點(diǎn))空間

2)R＝(R,0)?R2,稱(chēng)R為1維(線(xiàn))空間

3)R2＝(R2,0)?R3,稱(chēng)R2為2維(面)空間

4)R3＝(R3,0)?R4,稱(chēng)R3為3維(體)空間

5)R4＝(R4,0)?R5,稱(chēng)R4為4維(時(shí))空間

6)Rn＝(Rn,0m)?Rn＋m(n,m∈N)

定義11 向量空間維數(shù)的定義

在線(xiàn)性點(diǎn)空間V中,如果存在n個(gè)點(diǎn)A1,A2,···An,滿(mǎn)足:

(i)A1,A2,···An線(xiàn)性無(wú)關(guān);

(ii)V中任一元素A總可由A1,A2,···An,線(xiàn)性表示．

那么,A1,A2,···An,就稱(chēng)為線(xiàn)性空間V的一個(gè)基,n稱(chēng)為線(xiàn)性空間V的維數(shù)．

維數(shù)為n的線(xiàn)性空間稱(chēng)為n維線(xiàn)性空間,記作Vn,．

稱(chēng)為n維線(xiàn)性空間Vn由基底A1,A2,···An所生成。