“講”出本質(zhì),“評”出優(yōu)劣
———一道導(dǎo)數(shù)題講評的三個(gè)視角

◇ 河北 孫秀河

在每次考試后任課教師都要進(jìn)行“試卷講評”,若講評的內(nèi)容及方式、方法不當(dāng),往往達(dá)不到預(yù)期的效果．筆者教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)從解題的通法、命題根源以及變式探究等多角度進(jìn)行講評,可收到事半功倍之效．下面以一道導(dǎo)數(shù)題為例進(jìn)行說明．

例已知f(x)＝aex－lnx－1．

(1)設(shè)x＝2是f(x)的極值點(diǎn),求a,并求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

本題是以導(dǎo)數(shù)應(yīng)用為背景的函數(shù)不等式的證明問題,是高考命題的?？碱}型,第(1)問是基礎(chǔ)題,本文不再探究．下面從幾個(gè)視角講評第(2)問．

1 講評問題通法

證明不等式問題的通法是求函數(shù)的最值,本題證明f(x)≥0,即求函數(shù)f(x)的最小值,判定其大于或等于0．

證法1函數(shù)f(x)＝aex－lnx－1的定義域?yàn)?0,＋∞),對其求導(dǎo)得對f′(x)求導(dǎo)得所以f′(x)為(0,＋∞)內(nèi)的增函數(shù)．又因?yàn)閤→0 時(shí),f′(x)＜0,x→＋∞時(shí),f′(x)＞0,所以存在x0∈(0,＋∞),使得f′(x0)＝且在區(qū)間(0,x0),f′(x)＜0,f(x)單調(diào)遞減;在區(qū)間(x0,＋∞),f′(x)＞0,f(x)單調(diào)遞增．所以

將式②兩邊取對數(shù)得

將式②③代入式①得

點(diǎn)評本解法直接求函數(shù)的最小值,因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)無法求解,故可利用零點(diǎn)的存在定理對零點(diǎn)的存在性進(jìn)行說明．

證法2由f(x)≥0,得aex－lnx－1≥0,分離參數(shù)得所以只需要證明即ex－1－lnx－1≥0．

設(shè)g(x)＝ex－1－lnx－1,求導(dǎo)得g′(x)＝ex－1－由g′(x)＝0,得x＝1,故在區(qū)間(0,1),g′(x)＜0,g(x)單調(diào)遞減;在區(qū)間(1,＋∞),g′(x)＞0,g(x)單調(diào)遞增．gmin(x)＝g(1)＝e1－1－ln1－1＝0,因此,當(dāng)時(shí),f(x)≥0．

點(diǎn)評本題通過對原不等式進(jìn)行等價(jià)變形后,構(gòu)造函數(shù)并求最值．對于方程g′(x)＝0的求解,利用了觀察法．從解題過程來看,比證法1更簡捷．

2 講評命題根源

在解題之余,學(xué)生總會(huì)有這樣的想法:考題是怎么命制出來的,命題的依據(jù)是什么? 如果在試卷講評時(shí),教師能講清這一問題,不僅可使學(xué)生明確問題的本源,并能站在更高的視角來分析問題．

導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中所涉及的函數(shù)均為我們最熟悉的冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等．學(xué)習(xí)中不僅要熟悉各類函數(shù)的圖象、性質(zhì),還要準(zhǔn)確判斷這些函數(shù)之間的關(guān)系,如y＝ex與y＝x＋1之間的關(guān)系,y＝lnx(x＞0)與y＝x－1之間的關(guān)系．利用導(dǎo)數(shù)不難證明ex≥x＋1,lnx≤x－1(x＞0)．從圖象的位置關(guān)系來看y＝x＋1是y＝ex在點(diǎn)(0,1)處的切線,y＝x－1是y＝lnx(x＞0)在點(diǎn)(1,0)處的切線．

將不等式ex≥x ＋1 中的x 換為x－1,可得ex－1＞x,所以證明ex－1－lnx－1≥0可通過證明xlnx－1≥0來實(shí)現(xiàn),而這個(gè)不等式就是lnx≤x－1(x＞0)．

找到了命題的根源,簡捷的解題思路就呼之欲出了．當(dāng)然在證明不等式ex－1－lnx－1≥0時(shí),也可利用lnx≤x－1(x＞0)進(jìn)行放縮,即ex－1－lnx－1≥ex－1－(x－1)－1＝ex－1－x,故只需要證明ex－1－x≥0即可．

3 講評題目變式

在解答完一道題目后,通過對題目條件或所求結(jié)論進(jìn)行變式,可有效檢驗(yàn)學(xué)生的掌握程度．

變式已知f(x)＝ex－ln(x＋m)．

(1)設(shè)x＝0是f(x)的極值點(diǎn),討論f(x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)m≤2時(shí),證明f(x)＞0．

解析(1)略．

(2)因?yàn)閙≤2,所以ln(x＋m)≤ln(x＋2),所以問題可轉(zhuǎn)化為證明ex－ln(x＋2)≥0．

設(shè)g(x)＝ex－ln(x＋2),求導(dǎo)得g′(x)＝ex－所以g′(x)在(－2,＋∞)單調(diào)遞增．而g′(－1)＜0,g′(0)＞0,所以g′(x)＝0在區(qū)間(－2,＋∞)有唯一實(shí)根x0,且x0∈(－1,0),使得在區(qū)間(－2,x0),g′(x)＜0,g(x)單調(diào)遞增;在區(qū)間(x0,＋∞),g′(x)＞0,g(x)單調(diào)遞增．

將②③代入①得

點(diǎn)評本題也可利用放縮法處理,即將不等式lnx≤x－1中的x 換為ln(x＋2)≤x＋1(x＞－2),從而證明不等式ex－ln(x＋2)≥0,只需要證明ex－(x＋1)≥0．

綜上所述,在試卷講評時(shí),作為教師不應(yīng)僅停留在問題的解答上,還要從命題根源的探究、解法的簡化、問題的變式等視角進(jìn)行拓展,這是切實(shí)提升學(xué)生分析、解決問題能力的重要保證．