合理設置情境和問題,引領學生學習數學建模

◇ 安徽 王志剛 劉蘭梅

2019年11月,筆者有幸參加了由北京師范大學出版社組織的“中小學數學教材交流研討會”,會上北師大版高中數學教材副主編李延林老師親自執(zhí)教了一節(jié)數學建模初始課——學校班車設站問題,這節(jié)課使筆者感觸很大、深受啟發(fā)．

1 教學過程分析

1.1 設置問題情境

上課伊始,教師在黑板上畫了如圖1所示的圖,這是一段路,路旁有6 位學生的家,學校有班車接送學生,為方便集中接送6 位學生,決定在路上設置一站,這個站設在哪兒好呢?

這是一個貼近學生生活的現實情境,要解決的問題對學生來說是非常熟悉的,也是學生渴望得到答案的．能從這熟悉的情境中,從數學的視角發(fā)現問題、提出問題是發(fā)展學生數學建模核心素養(yǎng)的過程．

1.2 從現實情境中抽象出具體問題

針對這一現實情境,引導學生清晰表達這一現實問題．首先請同學們思考:這里“好”的意義不明確,怎么辦呢?

這時,學生立刻意識到要對“好”做出表達,也就是為“好”下定義．

通過學生交流討論,約定了4個“好”的定義．

定義1:所有人走的路程之和最少;

定義2:所有人走的時間之和最少;

定義3:站點離每個人都盡量近;

定義4:走得最遠者路程最短．

通過這一教學環(huán)節(jié),學生在熟悉的實際情境中,對模糊的概念進行了解釋,完成了由現實情境到實際問題的抽象．

1.3 嘗試研究定義1下的問題解決

1)用數學的語言表達實際問題

接下來,要將具體的實際問題用數學語言表達出來．

圖1

定義1涉及距離,實際問題中的距離是沿路行走的長度,而數學中的距離是線段長度,學生通過小組合作,逐步認識到可以“化曲為直”,把曲線“拉直”,再將直線設為數軸,即可將實際問題轉化成數學問題．

直線上的點A1,A2,A3,A4,A5,A6分別對應數軸上的坐標x1,x2,x3,x4,x5,x6(如圖2所示)．令點P 為站,它對應的坐標為x,則求“所有人走的路程之和最小”的站點的數學語言表示就是求函數F(x)＝|x－x1|＋|x－x2|＋|x－x3|＋|x－x4|＋|x－x5|＋|x－x6|的最小值點．這一教學過程就是在建立數學模型．

圖2

2)用數學的思想方法解決數學問題

上面的函數是學生既熟悉又陌生的數學表達式,說它熟悉,一看就知道是一個函數模型,說它陌生,是沒有研究過這類函數的性質,沒有求過這類函數的最小值．

由圖2進行直觀的分析:當點x 由最左側逐漸向右移動,越靠近x1,則F(x)的值越小;同理,根據數學的對稱性,點x 由最右側越靠近x6,則F(x)的值越小;當x 進入x1與x2之間后,越靠近x2,則F(x)的值越小;如此分析下去,發(fā)現,當x 位于x3與x4之間時,F(x)取得最小值,于是得出最小值點就是閉區(qū)間[x3,x4]上的任一點．

至此,在“所有人走的路程之和最少”意義下的設站問題就解決了．

1.4 進一步研究其他定義下的問題解決

定義2是“所有人走的時間之和最小”,若在行走速度差異不大的情況下,就可轉化為在定義1下進行研究．

定義3是“站點離每個人都盡量近”,這個說法有點模糊,沒有體現數學的準確性,可以不研究．

定義4是“走得最遠者路程最短”,其數學模型為求集合M ＝{|x－x1|,|x－x2|,|x－x3|,|x－x4|,|x－x5|,|x－x6|}中元素的最大值的最小值．

至此,似乎根據提出的所有的“好”的定義,問題都解決完了．教師又提出了一個問題:在每一個解決方案中,學生走的路有多有少,難道你們沒有想到這樣不夠公平,應當找一個公平的方案嗎? 這應當是首先想的事啊,也就是說,應當在開始就有這樣一個“好”的定義,即每個學生走到站點的路程一樣多．

一個學生馬上發(fā)言:這是不可能的．

教師微笑著說:“怎么不可能?”教師將黑板上的曲線由一端出發(fā)延長了很長很長的彎彎曲曲的“路”,在很遠的地方點了一個點,說“這就是站”．同學們稍愣片刻,一下笑了起來．這是釋然的笑,是會心的笑．一個學生說:“走這么遠,就感覺不到差別了．”教師說:這就是近似,實際生活中幾乎沒有絕對相等,所有的相等幾乎都是近似的．當然,這種方案勞民傷財,不會被采納,但是能夠實現,它對應的數學模型是求方程的解,其中的近似程度依實情而定．

教師帶著學生簡要回顧了解決這個設站問題的數學建模過程,突然問學生,咱們做了重要的一件事,但沒有寫在黑板上,是什么呢? 學生你看看我,我看看你,搖搖頭．“這段路每一點都一樣嗎? 6個學生的身體狀況無差異嗎?”隨著這樣的問話,教師在寫過好的定義下邊的空白處寫下假設:假設沒差異,如果不這樣假設,數學模型就會變化,問題就會復雜．“建立數學模型之前,要先進行相關因素分析,再對這些因素進行假設．”之后,教師歸納了數學建模的一般過程,并指明教材中這一內容的相應頁碼,讓學生課后閱讀理解．

1.5 用數學,學數學

臨近下課了,教師又帶著學生回到了第一種方案的數學模型．問如果有7個學生,站設在哪里? 有n 個學生的站點問題如何解決．隨著模型的推廣,得出一個數學結論,留給學生課下探究．

2 感悟與體會

這節(jié)內容充實、結構新穎、一氣呵成的數學建模課給筆者留下了深刻印象,之后,筆者在學校上了類似的數學建模課．

2.1 用數學的眼光觀察和研究身邊的問題

平時與學生談起用數學,往往是“眼睛向上看”,什么大氣污染、金融市場、生產與消費等,但是力所不能及．而對身邊的平常事情,發(fā)現不了問題,更看不出數學的應用．這個校車設站問題,是學生非常熟悉的事情,從這里開始學習數學建模不僅讓學生感興趣,而且把學生的視角拉回來,關注身邊的生活,在生活中發(fā)現問題,用數學解決這些問題．《普通高中數學課程標準(2017年版)》的課程目標中明確指出要提高學生從數學角度發(fā)現和提出問題、分析和解決問題的能力．

這也是一種方向的引導,學生自己研究問題的時候,選題應當立足自己熟悉的問題,即身邊的問題、小的問題、具體的問題．

2.2 設置明暗兩線,經歷數學建模活動的主要過程

皮亞杰認為:認知發(fā)展可分為內化建構和外化建構．學生建模素養(yǎng)的發(fā)展過程應該是內化建構和外化建構同時得以發(fā)展的過程．本節(jié)課設計了明暗兩條線,整體上并行推進．明線是圍繞學校班車站設在哪兒“好”展開,從討論如何設置站點“好”這一現實問題出發(fā),得出4種建模方案,通過確定參數把模型方案數學化再求解模型、檢驗結果、改進模型,最終解決實際問題,這實質是數學建模素養(yǎng)的外化建構過程．暗線是圍繞“實際問題—數學模型—實際問題”之間的轉化,貫穿本節(jié)課的是模型準備、模型假設、模型構成、模型求解、模型分析、模型檢驗和模型應用等數學建模一般步驟,這是數學建模素養(yǎng)內化建構的過程．以問題為驅動,通過明暗兩條線,使學生親身經歷知識的形成和發(fā)展過程,讓學生體會到從感性到理性、從特殊到一般、從具體到抽象的思維方法,促進學生對數學建模過程和主要表現形式的理解和掌握．

2.3 突出數學建模的主要環(huán)節(jié)和特點

學生對數學建模是陌生的．長期以來,學生解決的數學問題都條件清楚、可丁可卯,而實際問題不是這樣,在最初的校車設站的問題情境中,只提到了“好”,但沒說什么是“好”．俗話說:蘿卜白菜,各有所愛,這就是實際問題的特點．學生們七嘴八舌說出了自己認為的“好”,所建的數學模型是不同的．實際上,給出“好”的定義,是在表述問題,明確研究的問題．

公平往往是在群體活動中遵循的一個原則,然而,這個想法在“好”的定義中卻沒有出現,原來學生們認為這是不可能實現的．而教師制造了一個公平的方案,盡管這個方案“勞民傷財”,不會被采納,但確實存在,而且這個公平是近似的．這種近似的觀點非常重要,在實際問題的解決過程中,幾乎沒有絕對的相等、絕對的公平,誤差是存在的,近似是常見的．

“假設”是數學建模的重要環(huán)節(jié),學生對此也非常陌生,教師為此做了特殊的設計,開始沒有直接講假設,當問題解決后設立了一個懸念:“咱們做了重要的一件事,但沒有寫在黑板上,是為什么呢?”之后,在黑板的預留空白處補上了假設．這是非常藝術的處理,用這種方式突出了假設．另外,也讓學生感受到假設的自然和必要,不進行假設,問題的條件就不明確,就無法進行數學建模．

2.4 引導學生做數學建模

雖然在數學建模教學的開始要講解數學建模,但是仍然要讓學生參與進來．這似乎挺難,但學生在這節(jié)課里真正參與了．從開始對“好”的討論,到模型的建立,再到模型求解,學生始終積極參與,這是因為情境好理解,經驗用得上,模型能駕馭．在一個一個子問題的引導下,學生逐步將數學建模向前推進,在自己的思考基礎上,得到一步步相應的結論．

營造良好可行的參與式、體驗式的學習環(huán)境是對數學建模教師的考驗．有賴于教師對實際問題的選擇、問題的設計和教學的把控．

2.5 在數學建模的學習中深入理解數學

數學建模是用數學解決實際問題的過程,凸顯了數學的價值,可以在用數學的過程中更加喜歡數學,更加愿意學習數學,其使用數學的過程也是深入理解數學的過程．

在這節(jié)課的最后,教師提出了問題:“如果有7個學生站設在哪里?”這樣的問題必然帶來對數學模型一般化的思考,對于求函數F(x)＝|x－x1|＋|xx2|＋…＋|x－xn|的最小值點,便得到可視為定理的數學的一般性結論．

由于這節(jié)課的主題是數學建模,所以這一研究留在了課下,但這一段教學過程實實在在地讓學生感受到了數學源于生活,生活實際是數學發(fā)展的重要源泉之一．