輔助角出手,三角題破解

◇ 寧夏 張玉生

一般對形如y＝asinx＋bcosx(a2＋b2≠0)或y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x(a,b,c≠0)的三角式的化簡、求解往往需要用到輔助角公式．輔助角公式是研究三角函數問題強有力的工具,在解題中應用極其廣泛．下面擷取幾個典型實例來展示輔助角公式的“高效性”．

1 求值問題

例1已知則tanα 的值為_____．

解析由于

點評借助輔助角公式加以轉化,進而利用三角函數值所滿足的條件確定對應角的關系式,再利用三角函數值求解．輔助角公式的引入和應用,可以有效地簡化計算過程．

2 化簡問題

例2化簡

解析

點評直接把利用兩角和與差的正弦和余弦公式展開,再加以整理、化簡,也可以很好地解決問題,只是解題過程較為煩瑣．

3 最值問題

例3試求函數上的最大值與最小值．

解析由于

點評涉及asinx＋bcosx(a2＋b2≠0)此類三角函數式的最值問題,往往需要通過輔助角公式將其轉化為的形式,再利用三角函數的圖象與性質來確定最值,從而使問題獲解．

4 參數問題

例4已知三角函數y＝sin2x＋acos2x(a∈R)的圖象關于直線對稱,則實數a 的值為_____．

解析根據輔助角公式可得y＝sin2x＋acos2x＝而三角函數的圖象關于直線對稱,則當時,三角函數取得最值即a2＋2a＋1＝0,解得a＝－1．

點評在對三角函數式的轉化過程中,巧妙利用了輔助角公式,引入角φ,再結合三角函數的圖象與性質加以分析與應用,達到求解參數的目的．

5 創新問題

例5函數的值域為_____．

解析原函數可化為sinx－ycosx＝2y．

點評直接求解三角分式函數的值域存在困難,而通過分式函數整式化,利用輔助角公式把相關問題轉化為有關正弦函數的值域問題求解會更簡便．

6 綜合問題

例6(2017年北京卷文16)已知函數f(x)＝

(1)求f(x)的最小正周期;

解析(1)因為所以f(x)的最小正周期

點評解決三角函數的此類綜合問題時,要注意利用三角關系式(特別是輔助角公式),把三角函數化為一個角的一個函數的形式后才可求解．