不等式證明的三種經典解法探析

◇ 甘肅 陳 軍

求解不等式問題的基本思想是根據不等式的基本性質進行等價轉換、同解變形等,這個過程必然要與方程、函數、圖象及其他知識相聯系,運用分類討論、數形結合、整體代換等數學思想進行求解．不等式證明問題又是不等式問題中的特殊問題,證明方法紛繁復雜、千變萬化、技巧性強．本文就對均值不等式法、柯西不等式法、數學歸納法三種經典求解不等式證明的方法進行例題詳解,希望讀者能體會其妙用．

1 均值不等式法

例1若a,b,c∈(0,＋∞),求證:

證明已知a,b,c∈(0,＋∞),所以根據均值不等式b＞0),可知

將三式相加,整理得

點評利用均值不等式證明不等式,首先要觀察所證不等式的特點,要合理應用裂項、分解、變形等方法,把不等式一側的項進行分組,每組找到兩個大于零的項,再結合題目中所給的已知條件,應用均值不等式結論就可證明所求不等式,要注意,均值不等式只能應用在所有項都是正數的不等式．

2 柯西不等式法

柯西不等式:若ai,bi∈R(i＝1,2,…,n),則

當且僅當ai＝λbi(λ 為常數,i＝1,2,3,…,n)等號成立．常見的變形形式如下．

(1)設ai∈R,bi＞0(i＝1,2,…,n),則

當且僅當bi＝λai(i＝1,2,…,n),等號成立．

(2)設ai,bi同號且不為零(i＝1,2,…,n),則

當且僅當b1＝b2＝…＝bn,等號成立．

例2求證

證明原不等式左邊變形得

由柯西不等式得

點評利用柯西不等式證明不等式,首先要對原不等式進行合理裂項、分解、變形等,把不等式某一側轉化為可用柯西不等式的形式,然后利用柯西不等式結論得出結果,再進一步證明結論．

3 數學歸納法

例3已知數列{an}滿足且2an＋1·an＋9an＋1－20＝0,請證明:

證明(1)當n＝1時,易知a1＞5成立．

假設n＝k 時,不等式成立,即ak＞5,則當n＝k＋1時,由變形,可得

要證明ak＋1≥5,即使ak＋1－5≥0即可．

由ak＞5,可得2ak－9＞0,ak－5＞0,從而確定ak＋1＞5成立．

綜上,對于一切自然數n 都有an＞5成立．

由于ak＞5,故有

點評數學歸納法的精髓在于邏輯的遞推過程,首先要確定第1項成立,由已知、基本計算或基礎事實求證,假設第k 項成立,然后在此基礎上,通過變形、放縮等手段,結合數學基本原理證得第k＋1項成立,從而說明在整個取值范圍內成立．用數學歸納法證明不等式只適合于數列不等式．