一道調研試題的解法探究

◇ 江西 孫 強

1 題目呈現

(1)若函數在x＝1 處的切線與直線ex－y＝0平行,求a 的值;

(2)若f(x)在(0,＋∞)上存在單調遞減區間,求a 的取值范圍．

這是2020年江西省南昌市高三調研摸底測試卷數學理科第21題,題目結構簡潔、設計新穎、層次分明、內容豐富,對于考生運用所學知識尋找合理的解題策略以及運算能力等方面有較高的要求,很好地體現了能力立意的命題原則．歷年高考試題都將導數作為高考的壓軸題．導數壓軸題在考查基礎知識的同時,注重對能力、數學思想方法方面的考查,呈現出綜合性強、思維量大、方法繁多、技巧性強等特點．

由于第(1)問比較簡單,本文僅針對試題第(2)問的解題思路與方法進行一些探究,旨在拓展讀者的解題思路,探究問題本質．

2 第(2)問解法探究

解法1(分類討論)

由題意可知,x∈(0,＋∞)時,f′(x)＝eax＋1－有解．當x∈[1,＋∞)時,f′(x)＝eax＋1－恒成立,不存在單調遞減區間．當x∈(0,1)時有解等價于ax＞0有解．

綜上所述,a＜－2．

點評在處理不等式問題時,可以將不等式轉化為等價的不等式來證明,例如,eax＋1－故只需要證明在(0,1)上有解即可．同時,導數題的第(2)問通常都可以利用分類討論來解決,在分類時要注意等號在何種情況取到．

解法2(洛必達法則)

由題意可知,x∈(0,＋∞)時,f′(x)＝eax＋1－有解．

則a＜－2．

點評運用化歸思想,將恒成立問題通過參數分離轉化為最值問題,再通過最值求參數a 的取值范圍,從而避開解法1中對參數a 的討論,簡化證明步驟．

解法3(放縮法)

由題意可知,x∈(0,＋∞)時,f′(x)＝eax＋1－有解．當x∈[1,＋∞)時,f′(x)＝eax＋1－恒成立,不存在單調遞減區間．

證明上述命題之前,先證明兩個不等式:

①當x∈(0,1)時,令φ(x)＝ln(1－x)－ln(1＋單調遞增,φ(x)＞φ(0)＝0,即

必要性:由②可知,當x∈(0,1)時,ln(1－x)－ln(1＋x)＜－2x,故ax＜ln(1－x)－ln(1＋x),則ax＜－2x?a＜－2,所以a＜－2是的一個必要條件．

綜上所述,a＜－2．

點評利用放縮法證明本題時,容易僅證明充分性而忽略必要性,從而導致回答不全面,所以在利用放縮法證明的時候一定要思考充分性與必要性是否同時滿足．要注意在使用放縮的過程中,即使是一些經典的式子,例如1＋x 等,都需要先證明后使用．

教師要重視高考題,充分挖掘和發揮試題的作用及價值,引導學生從不同的思維角度分析問題,領悟不同的解題方法,精學一題,妙解一類,進而提煉出數學思想與方法,實現教學效率的最大化、最優化．