淺談數列求和的常用方法

◇ 山東 史紅勇

1 公式法求和

利用常用求和公式求和是數列求和的基本方法．

例1設{an}是公差不為0的等差數列,a1＝2,且a1,a3,a6成等比數列,則{an}的前n 項和Sn＝( )．

解析設等差數列的公差為d,因為a1＝2,則a3＝2＋2d,a6＝2＋5d．又因為a1,a3,a6成等比數列,所以＝a1·a6,即(2＋2d)2＝2(2＋5d),整理得2d2－d＝0．因為d≠0,所以所以

故選A．

2 錯位相減法求和

將錯位相減法用于數列求和,常見于求一個等差數列{an}和一個等比數列{bn}的對應項之積構成的數列{an·bn}的前n 項和．

例2已知{an}為等差數列,前n 項和為Sn(n∈N?),{bn}是首項為2的等比數列,且公比大于0,b2＋b3＝12,b3＝a4－2a1,S11＝11b4．

(1)求{an}和{bn}的通項公式;

(2)求數列{a2nb2n－1}的前n 項和(n∈N?)．

解析(1)設等差數列{an}的公差為d,等比數列{bn}的公比為q．由b2＋b3＝12,得b1(q＋q2)＝12,而b1＝2,所以q2＋q－6＝0．又因為q＞0,解得q＝2,所以bn＝2n．又因為b3＝a4－2a1,S11＝11b4,則

聯立①②,解得a1＝1,d＝3,由此可得an＝3n－2．所以數列{an}的通項公式為an＝3n－2,數列{bn}的通項公式為bn＝2n．

(2)設數列{a2nb2n－1}的前n 項和為Tn,由a2n＝6n－2,b2n－1＝2×4n－1,得a2nb2n－1＝(3n－1)×4n,故

③－④,得

3 倒序相加法求和

若首尾距離相等的兩項和有其共性則可考慮運用倒序相加法求和．

例3設則S＝_____．

解析因為所以

①＋②,得

4 裂項相消法求和

如果數列{an}的每一項均可拆成兩項之差,并在求和時一些正負項可以相互抵消,只剩首尾若干少數項,那么求{an}前n 項和可用裂項相消法．

例4已知等差數列{an}滿足(a1＋a2)＋(a2＋a3)＋…＋(an＋an＋1)＝2n(n＋1)．

(1)求數列{an}的通項公式;

(2)設求{bn}的前n 項和Sn．

解析(1)設等差數列{an}的公差為d,當n＝1時,a1＋a2＝4,當n＝2 時,a1＋a2＋a2＋a3＝12,則4a2＝12,a2＝3,所以a1＝1,d＝a2－a1＝2,所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1．

(2)由(1)可得

所以

5 分組法求和

如果數列{an}的各項均可寫成一些易求和的特殊數列的和或差,則可以把數列的每一項分解成兩項或多項,或者把數列的項重新組合,使其轉化成兩個或多個等比數列(或等差數列)的和．

例5等差數列{an}的前n 項和為Sn,數列{bn}是等比數列,且滿足a1＝3,b1＝1,b2＋S2＝10,a5－2b2＝a3．

(1)求數列{an}和{bn}的通項公式;

解析(1)設數列{an}的公差為d,數列{bn}的公比為q．由b2＋S2＝10,a5－2b2＝a3,得

綜上,an＝3＋2(n－1)＝2n＋1,bn＝2n－1．

(2)由a1＝3,an＝2n＋1,得Sn＝n(n＋2),