教學設計在數學線上教學中的實踐
——以“重要極限”為例

湖北工業大學 理學院 湖北 武漢 430068

2020年新春伊始，一場突如其來的新型冠狀病毒肆虐武漢。為阻斷疫情向校園蔓延，確保師生生命安全和身體健康，教育部日前下發通知，要求今年春季學期延期開學。現階段防控新型冠狀病毒肺炎是當前頭等重要的大事，各級教育部門正按教育部和當地黨委政府統一部署要求，全力防控，各高校積極利用網絡平臺，開展本科教育“停課不停教、不停學”的線上教學活動。

1 數學課程線上教學現狀

數學課程是大學的基礎課程，是理工科專業課程的根基。數學沒有學好，將對專業課的學習產生嚴重的影響。為貫徹落實教育部文件精神，切實加快數學課程教育信息化建設進程，促進現代教育信息技術在數學教學活動中的應用，很多學校引進或開發了網絡教學平臺，如國家精品資源共享課、MOOC、雨課堂等。

誠然這些網絡教學平臺確實為學生學習提供了很好的資源，渠道多，方式靈活快捷，但平臺良莠不齊，并且教學資料以教案、課件、錄像為主。學生開展線上自主學習時，學習自主性不高，學習目的性不強，經常有無從下手的感覺。特別是高等數學課程，學時多，戰線長，內容深，有時會出現看了好幾遍課件、好幾遍書，還是不太理解，沒有老師的指導，一遇到難題就想逃避，學生在學習中的思維容易中斷，不利于邏輯思維能力的培養。其次，網絡的不規范也使一部分學生的身心受到威脅，有些人由于認知水平的缺陷，常常受外界影響，而耽誤學業。這也是現在網絡帶給人們的一大擔憂。再次，有些老師進行線上教學時，只注重自己講，和學生的實時交互很少，學生參與度不高，不能及時了解學生學習情況，教學質量很難得到保證。

因此在“以學生為中心”的教學理念下，為了引導學生更高效地完成數學課程的線上學習，首先需要教師精心設計教學“藍本”，明確教學目標，讓學生知道為什么學、學什么、怎么學，這時一份好的教學設計就顯得尤為重要。

2 教學設計的內涵

2.1 教學設計的重要性 教學是一個系統工程，以學生為主體，教師為主導，多要素相互聯系、相互作用和相互影響，其中課堂教學尤為關鍵。教師在備課過程中，用系統的方法對這些要素進行合理有序的安排和計劃，就是課堂教學設計。教學設計者以教學理論為最直接的理論來源，通過學習理論和傳播理論，系統性地對教學對象和教學內容進行深度分析，細化教學目標，設計教學策略，評價試行結果，再反復修改方案，其終極目的是獲得最優的教學效果，提升學生的知識能力與學習能力。

教學設計將諸要素聯結起來，于教師層面，教學準備更充分，有利于提高教學能力。教師在處理各種教學信息，客觀、全面地認識教學等方面的能力更顯著，再通過不斷總結和反思，改進和完善課堂教學，促進教學的系統化。于學生層面，有利于提高學習者獲得知識、技能的效率和興趣，更有利于學生從被動學習向主動學習轉型。可以說，教學設計是提高課堂教學效率和質量的一項重要工作，是教師課堂教學的一種探索和改革，也為學習者提供了自學的方法。

2.2 教學設計的定義 教學設計不僅是教學中的一個重要組成部分，更是一門學科。國際著名教學設計理論家C.M.賴格盧特認為教學設計是一門理解與改進教學過程的學科，設計活動的宗旨是設置預期目標，提出最優途徑，獲得最優效果[2]。在他看來，教學設計也可以被稱為教學科學。同時，教學設計也是一個系統工程。美國教育心理學家R.M.加涅曾定義教學設計是一個系統化規劃教學系統的過程，作出有利于學習的安排[3]。學習教練肖剛也提到教學設計應遵循學習效果最優原則，是一個系統設計并實現學習目標的過程[4]。因此，教學設計始于對教學目標的分析和需要，終于對教學的評價，一般包括教學任務、教學目標、教學過程和教學評價四個部分。教學任務是主題，教學目標是基礎，教學過程是核心，教學評價是反饋，四者之間相互關聯，相互作用，構成整個教學活動的閉環。教案是教學設計最顯性的表現，呈現的內容覆蓋每個部分。教學內容是教學任務的直接表述；學情分析、內容分析、教學重難點是設定教學目標的關鍵；教學過程包含教學手段與方法、教學步驟、重難點的解決方法與時間分配等，這是教案的核心；在教學過程中和結束后，收集反饋信息，進行教學評價，依據評價結果，繼續調整和完善教學設計。

因此，好的教學設計能讓教師更好地把握教學過程，保證教學高效率和高質量，更有利于學生在單位時間內學到更多的知識，培養學生自主學習能力，增強學生分析、解決問題的能力和創新能力，學生素質得到全方位發展[5，6，7，8]。

2.3 教學設計的原則和實施方法 教學設計的內容豐富，包含諸多要素，因此在設計過程中要遵循四個基本的原則：系統性原則、程序性原則、可行性原則和反饋性原則。根據這些原則，教學設計各要素的具體實施方法有：

(1)首先讓學生明確“為什么學”。在充分了解學生的知識基礎上，確定學習者的學習需要和學習目標，設置預期能力目標；

(2)再確定“學什么”。根據學習目標，分析課程內容，進一步明確學習者的知識目標、能力目標和情感與態度目標，滿足學生的學習需要；

(3)還要讓學生知道“如何學”。結合教學內容，詳細設計教學流程及目的說明，突出重難點，并提供解決辦法，注重教學策略與方法，規劃好各部分的教學時長；

(4)最后檢驗“學得如何”。通過學生課堂表現、作業完成度、同行聽課等檢驗指標，全面評價教學效果；教師結合評價結果反饋，對教學各環節進行修正，優化教學內容和過程，再反饋給學生，促進學生多次學習，完成預期目標。

3 教學設計案例

【教學內容】第一章：函數與極限 第六節：極限存在準則 兩個重要極限；

【授課時常】45分鐘；

【學情分析】

知識基礎：

一方面，學生在中學學習了二項展開式，之前又學習了極限的運算法則和極限存在準則，會計算一些簡單的極限，知道利用單調有界準則判斷極限的存在性，這些內容都為本節知識的學習提供了基礎。另一方面，學生只會運用極限的四則運算法則計算一些簡單的極限，而對于“1∞”型的極限是之前沒有接觸過的。結合學生的已有認知，從實際問題出發，逐步引導學生進入課程的學習之中。

能力基礎：

學生沒有接觸過“1∞”型的極限計算問題，這是一種新的極限問題。本節課需要學生結合已知的極限計算方法和函數(數列)特性，來理解、掌握重要極限二的特點，同時會運用重要極限二計算同類型的極限問題以及解決實際問題。

【教學目標】

知識目標：

2.掌握重要極限的特點，熟練運用重要極限求函數極限；

3.運用重要極限解決實際問題。

能力目標：

1.通過本內容的學習，進一步加深學生對極限思想的理解；

2.培養學生具有應用重要極限分析、解決實際問題的能力，

3.培養學生觀察問題、質疑問題、解決問題的能力和相關知識的遷移能力，應用到本專業的學習中。

情感與態度目標：

1.通過實例引入，激發學生的學習興趣；

2.明確高等數學的實用性，體會數學思想和數學方法的精妙；

3.進而培養學生自主探索和創新的科學精神。

【內容分析】

因此，本節內容的教學從實例出發，讓學生觀察和探討一般的數學規律，學會從歸納、總結，抽象出結論，突出重點，同時注重教學內容的實用性和探究性。

【教學重難點】

教學重點：理解重要極限二的形式、特點，熟練運用重要極限解決有關函數極限的計算問題。

解決方法：從實例出發，讓學生發現復利問題的規律，找到一般形式，通過從一般形式中歸納出其特征，掌握運用重要極限二的條件；通過例題，鞏固熟悉所學內容。使學生在不斷觀察、總結、驗證的過程中，養成良好的學習理念，培養學生科學的創新精神。

教學難點：重要極限的證明方法和過程。

解決方法：極限的證明問題是學生一向都比較頭疼的問題，源于極限概念的抽象性。在處理極限證明這一難點的過程中，借助熟知的二項式展開，得到了數列的單調性和有界性，避免純粹利用極限概念，從而將難點降低，讓學生從已知到未知，漸進地掌握知識內容，加深對理論內容的理解，培養學生的數學素養。

【教學方法與策略】

采用啟發式教學，從實際案例出發，引導和啟發相結合。通過引導學生從已有的生活經驗出發，提出問題與學生探討，學會觀察、歸納、總結，用以解決問題，讓學生經歷知識的形成與應用的過程[9]。

【課堂教學流程】

1.知識回顧：(1)極限存在準則——單調有界準則；(2)二項展開式(約3分鐘)

設計目的：讓學生查閱文獻，復習基礎知識，使學生熟悉基本內容，也是后續課程的基礎，起到承上啟下的作用。

2.案例導入：復利下的本利和 (約4分鐘)

設計目的：案例導入法。學生通過對已有知識的應用，將感性經驗進一步理性化，引導學生挖掘上述問題中蘊含的數學思想方法，為本內容的研究找到固著點，讓學生知道“為什么學”。

3.課程主體：

注釋：這部分包含了“學什么”的全部內容。

(1)猜想的證明

①單調性證明；

②有界性證明；

設計目的：這是本節的難點。讓學生借助中學的知識基礎，利用前面章節所學內容，引導學生思考，證明猜想的正確性，培養學生的科學探究精神。

(2)重要極限的說明 (約20分鐘)

設計目的：將歸納的結果用嚴謹的數學語言表達出來，強調數學的規范性和邏輯性。同時也是對前面所學內容的復習。

②特征：這是本節的重點。

i.類型：1∞型；

ii.函數：冪指函數；

設計目的：引導學生歸納總結出重要極限的形式和特點，強調應用重要極限時要從這三個特征出發，并嚴格具有重要極限特征，才能得到極限結果。

設計目的：讓學生靈活運用重要極限解決極限計算問題時，要注意重要極限的形式與特征。

4.回答案例：解答開篇提出的問題。雖然隨著計息次數的增加，本利和會變大，但不會無限增加，有其閾值。 (約1分鐘)

設計目的：首尾呼應，結構完整。

5.反思：讓學生注意注意極限的特點，函數變形時要注意底數和指數部分的變化，防止計算錯誤。 (約2分鐘)

設計目的：培養學生養成良好的學習習慣，注意知識點的融會貫通。

6.拓展：無理數e的由來以及數學家歐拉在數學上的成就。(約4分鐘)

設計目的：數學文化是數學教育中很重要的內容，既能讓學生知道數學的來龍去脈，還能提升學生數學學習的興趣。

7.小結，作業與思考。 (約1分鐘)

設計目的：鼓勵學生加強自學，多參與討論。

8.評價：通過學生課堂作業反饋，了解學生對本知識點的掌握情況，并及時調整教學策略及各教學環節。同時學生也可發現學習過程中的問題，不斷修正，鞏固所學。

設計目的：教學評價是很重要的一環，教師和學生相互督促，共同進步。

通過教學設計的各個環節的實施，引導學生體會數學知識“從生活中來，到生活中去”的過程，激發學生的學習興趣，幫助學生自主學習，提高學習效率，形成數學素養。

4 結論

在肺炎疫情期間，“停課不停教、不停學”，筆者將教學設計用在線上教學上，發現學生在課堂上思維活躍，互動積極，效果良好。全班34人，通過問卷調查和批閱課堂課后作業，和同專業的平行班級橫向對比，共收集問卷表197份，各項指標數據占比如表1：

表1 線上教學數據統計表

數據發現，教學設計在線上教學中的效果比較明顯。特別是學生有意識查閱文獻的意愿和能力有大幅度提升，并且在自主預習、培養學生學習興趣、線上參與度等方面，教學設計也有明顯的效果，同時對內容的整體把握也更清晰，更容易讓學生形成知識體系。這些方面都是現在學生比較欠缺的。因此，好的教學設計對提高學生自主學習能力，增強學生實際動手能力，掌握數學知識、養成數學素養都大有裨益，從而整體提高線上教學質量。作為教師，做好教學設計是一項很重要的工作。