小學數學概念的建構與教學策略

山東省濱州市鄒平市第一實驗小學 梁 靜

概念是數學學科最基本的組成要素，是數學學科的“細胞”。學生數學概念的獲得過程本質上是對概念建立心理表征的過程。概念理解是對給出的概念及其定義進行解構并形成屬于學習者的認知的過程；概念建構則是指基于原有經驗或認知基礎，通過思維加工學習素材并形成新的概念的過程。對于小學生的數學學習而言，概念理解是基礎，概念建構空間則發生在一些重要概念的學習上。

一、應用情境，促進學生的概念理解

數學概念是抽象化的，但卻具有經驗化的特質。如何促進學生對概念的理解？一個重要的策略就是情境化。情境化的策略，是為了在抽象的數學概念與學生的形象化思維之間搭建橋梁。在情境中，學生能深化對概念的感受與體驗。同時，情境還能激發學生對概念認知的興趣，調動學生概念思維的積極性，發掘學生概念探究的創造性，讓學生能動地建構概念。因此，教師要依據學生的認知規律，將概念通過情境還原為對象、現實、場景、模型等。

以教學“小數的初步認識”（蘇教版三年級下冊）為例，相比較分數而言，小數在日常生活中有著更為廣泛的應用。因此，在引導學生認識“小數”這一概念時，筆者創設了多樣化的情境，如“商店里商品的標價”“塑料袋中的商品質量標識”等。在情境中，學生一方面能感受、體驗到小數與日常生活的關聯，認識到小數學習的重要性，另一方面能對小數展開生活化的思考，即這些小數表示什么意思？在此基礎上，筆者引導學生建構小數的意義，讓學生討論、交流“0.5元是什么意思”“0.7米表示多少”“0.6米與1米之間有怎樣的關系”“0.7元與1元之間有著怎樣的關系”等。通過情境，促生學生的問題意識，調動學生的探究潛質，引導學生積極參與小數學習。通過多樣化的情境，學生能有效地進行學習，從而將“1元”“1米”等平均分成10份，表示這樣的一份或者幾份，從而深刻感悟小數的內涵。

生活中存在著數學概念的原型。情境是學生概念建構的基石，為學生深入理解概念提供了有效的支撐。著名教育心理學家維果茨基認為：“數學概念直接教授是不可能的，而且也是沒有效果的。”將概念寓于情境之中，引導學生進行生活化的感知，進而豐富數學概念的現實背景。數學概念還具有意象性的特質，而情境能豐富學生的概念表象，讓學生把握概念與生活千絲萬縷的關聯，從而有效地促進學生對概念的理解。

二、應用活動，促進學生的概念建構

活動是數學概念建構的重要方式。在小學數學教學中，教師要創設富有挑戰性的學習活動，讓學生在活動中感知概念、表征概念、建構概念、轉變概念。APOS理論認為，學生數學概念的建構與轉變必須經歷活動、程序、對象和圖式四個階段。數學概念學習中的活動，不僅僅包括外在的操作、實驗等活動，而且包括內在的回憶、猜想、判斷，以及推理等相關活動。活動能幫助學生積累概念建構經驗，教學中，教師不僅要引導學生參與數學活動，更要引導學生反思數學活動，從而通過活動建立數學概念模型。

以“認識周長”（蘇教版三年級上冊）中的“周長”概念建構為例，“周長”這一概念不是通過教師機械、枯燥說教就能讓學生理解的，而必須引導學生經歷數學化活動。在教學中，筆者出示多種規則的與不規則的、直線的與曲線的圖形，讓學生“摸一摸”“描一描”“畫一畫”“量一量”“算一算”。在這個過程中，筆者還讓學生充當“小甲蟲”進行角色扮演，實地繞著這些比較大的規則的、不規則的圖形的邊線走一圈。這樣的角色扮演活動，充分調動了學生學習周長的興趣，調動了學生認知周長的積極性。有學生在繞著邊線“走動”的時候，還在起點處做上一個標記，認為從哪里出發還要回歸到哪里，由此在教學中融入、滲透了“封閉”的概念。通過有效的概念學習活動，引導學生抽象概括。經過多樣化的數學活動，讓學生大腦中的“周長”概念的模型建立并逐步走向豐滿、具象。有學生指出，周長就是邊線一周的長度。

美國著名教育心理學家布魯納認為，學生建立一個概念的過程是從動作表征過渡到圖像表征再到抽象的符號化表征的一個過程。引導學生進行積極的數學活動，讓學生經歷從具體到抽象的數學化過程，有助于學生對數學概念進行意義建構。同時，活動改變了傳統的死記硬背、灌輸為主的概念教學方式，真正體現了教為主導、學為主體。

三、應用變式，活化學生的概念表征

學生對數學概念的表征是多樣的，比如描述式的、圖畫式的、定義式的等。教師可以運用變式，活化學生的概念表征。通過變式，變換概念的外在條件，進而能讓學生舍棄概念的非本質屬性，提煉出概念的本質屬性等。只有真正掌握概念的本質屬性，才能領悟概念的精髓。

例如“高”這一概念，是小學生難以理解的一個數學概念。在日常生活中，學生會形成關于“高”的前概念，這些前概念認為，豎直向下的線段就是高。此時，教師可以應用“變式”，活化學生的概念表征。如在教學“平行四邊形的高”“三角形的高”以及“梯形的高”時，筆者不僅讓學生畫不同種類的高，更是變換平行四邊形、三角形和梯形的位置、方向等。以“三角形的高”的教學為例，筆者在教學中分別讓學生畫鈍角三角形、直角三角形和銳角三角形的高，并讓學生從三角形的三個頂點分別向底邊作垂線，等等。通過多元變式，學生逐步舍棄了高的非本質屬性，形成了對高的本質屬性理解。在這個過程中，學生深刻認識了“距離”“垂直”等相關的概念，厘清了數學中的“距離”與生活中的“距離”概念的不同、數學中的“垂直”與生活中的“垂直”概念的不同。變式讓學生從多個角度、多個層面等來認識數學概念，從而領悟到數學概念的本質精髓。

變式不僅有助于學生理解、掌握數學概念的本質，而且有助于深化、拓展學生對數學概念的認知。在數學教學中，教師不僅要應用正向變式強化學生的認知，而且可以應用反向變式厘清學生的認知，從而促進學生對數學概念的深層理解和深度遷移。

四、應用結構，建構學生的概念體系

學生的數學學習不是概念的簡單堆積，而是存在著一定的邏輯關聯，具有一定知識結構的系統。在數學教學中，教師要幫助學生建構數學概念結構、概念體系，從而讓學生能有效地應用概念。在學生的數學概念體系、概念結構之中，核心概念發揮著至關重要的作用。在數學教學中，教師應當引導學生圍繞核心概念，讓學生把握概念之間的層級關系，有效地幫助學生建構概念。

例如，教學“認識線段、直線和射線”（蘇教版四年級上冊）這一部分內容時，教師不僅僅要讓學生通過直觀建立線段、射線、直線的概念，即線段、射線、直線都是直的，線段有兩個端點，射線有一個端點，直線沒有端點，更要將線段、直線、射線等建立關聯。如“將線段的一端無限延長，就得到一條射線”“將線段的兩端無限延長，就得到一條直線”等，引導學生有效地比較射線、直線和線段的概念，從而讓學生深刻認識到“線段是直線的一部分”“射線也是直線的一部分”。只有當學生能把握直線、射線和線段之間的關系，認識到線段是直線的一部分、射線也是直線的一部分時，學生才能對線段、射線、直線的概念理解走向深入。學生在遇到數線段、數射線時，才能根據線段、射線等概念定義有效地數出。通過數學概念之間的關聯，才能讓學生有效地建構概念體系。

小學數學概念前后關聯密切、系統性強，在數學教學中，教師要讓學生建立概念之間的層次關系，從而更深入地把握概念的本質，幫助學生有效地建構數學概念體系、結構等。只有把握了概念之間的關聯，才能促進學生對數學概念更有效地理解、遷移和應用。在概念教學中，教師要以學生為中心，讓學生整體、動態地把握概念本質，幫助學生積累概念認知經驗，有效地發展學生的概念認知力。