基于Mann-Kendall法和重標極差法對大渡河毛頭碼站降雨趨勢的分析

李 燐 楷， 李 文 錦， 陳 志 峰， 陳 堅， 顧 曉

(中國電建集團貴陽勘測設計研究院有限公司，貴州 貴陽 550081)

0 引 言

Mann-Kendall 法是一種基于秩次非參數統計檢驗方法，由于該法對統計樣本所服從的分布無特別要求，且對少數異常值不敏感，在判斷降水、徑流、氣溫等時間序列中長期變化趨勢方面應用廣泛，是世界氣象組織推薦并已廣泛使用的非參數檢驗方法[1]。重標極差法是分形理論中的一種重要研究方法，在研究自然界某些隨機且具有相似性的現象(如降雨、徑流、洪水等)中有著廣泛的應用，同時在社會科學和工程領域(如股票及匯率的波動等)有巨大的應用潛力[2]。英國水文學家赫斯特(H.E.Hurst)于1965年首次嘗試將徑流時間序列作為時間分形結構，采用重標極差法分析其時間尺度上的相似性。重標極差法已在暴雨時空分布、徑流序列趨勢等方面廣泛應用[3]。

毛頭碼水文站位于大渡河下游干流，距支流尼日河匯聚口2.7 km，控制流域面積7.27萬km2，自1964年開始進行降雨觀測以來，流域氣候條件變化相對穩定，但受全球氣候變暖和大氣環流等大尺度影響因子變化的影響，流域降雨量趨勢呈現相應的變化。本文采用Mann-Kendall法重標極差法和重標極差法對大渡河毛頭碼站降雨序列進行趨勢分析，用Mann-Kendall法分析降雨系列的總體趨勢，以重標極差法分析降水系列在時間尺度上的分形特征，判斷降雨序列的未來趨勢。

1 重標極差法和Mann-Kendall法綜合分析

1.1 重標極差法

一般地，對于降雨時間序列pt(t=1，2，…，n)，重標極差法分析步驟如下[4]：

(1)將降雨序列Pt(t=1，2，…，n)等分成長度為τ的m個連續子序列，其中τ為整數，取值范圍2≤τ≤n/2且Mτ≤n。各子序列記為Dm(m=1，2…M)，序列Dm包含τ個元素，記為pk，m(k=1，2，…τ)。

(1)

(3)由子序列Dm的累計離差最大值減去最小值記為Dm的極差記為Rm，其標準差為Sm：

Rm=maxPτ,m-minPτ,m

(2)

(3)

(4)分段長度為m時，M個子序列Dm的(Rm/Sm)均值，即為

(4)

(5)對于序列重構后，子序列長度τ與Hurst系數及重標極差的關系為：(R/S)τ=(cτ)H，兩邊取對數可得：lg(R/S)τ=Hlgc+Hlgτ，常采用最小二乘法估算在不同序列長度τ下Hurst系數的取值。

年降雨序列在大時間尺度下會表現周期性和趨勢性的特點，但由于受大氣環境和地形地貌等多種因素影響，其周期性和趨勢性并不顯著，利用重標極差法可有效剔除噪聲對時間序列周期性和趨勢性的影響。一般的，赫斯特系數H取值不同表示序列趨勢的持續性不同：當H=0.5時，表示時間序列前后完全獨立，具有隨機游走的特性；當H>0.5時，表示序列具有長程相關性，未來變化趨勢與過去一致，H值越接近1表示持續性越強； 當H<0.5時，表示序列具有反持續性，未來變化趨勢與過去相反，H值越小反持續性就越強，在這種情況下，過去的增加趨勢預示著未來的減少趨勢，而過去的減少趨勢則使未來可能出現增加趨勢[5]。

赫斯特系數顯著性檢驗利用R/S的期望公式估算序列的經驗值，并用最小二乘原理估算系列的斜率E(H)，E(H)服從正態分布，且方差為Var(E(H)τ)=1/N，采用U檢驗對實際Hurst系數進行顯著性檢驗，在置信區間取95%時，U0.05臨界值為1.96。R/S期望值經驗公式如下[6]。

E(R/S)τ=((τ-0.5)/τ)·(τπ/2)-0.5·

(5)

1.2 Mann-Kendall秩次非參數檢驗

對降雨序列降雨時間序列pt(t=1，2，…，n)，n為系列長度，其統計值Z的計算公式為：

(6)

其中M為對偶系列的個數，計算公式為：

(7)

Var(s)為標準差，估算公式為Var(s)=n·(n-1)·(2n+5)/18，若統計量Z>0，表示序列具有上升的趨勢，若Z<0，表示序列具有下降的趨勢，給定置信水平a，若|Z|≥Z1-α/2，表示趨勢顯著，若|Z|

1.96、2.58[7]。

1.3 綜合分析

將Mann-Kendall法與重標極差法相結合，先通過Mann-Kendall法判斷序列的上升或下降的趨勢，并檢驗其趨勢的顯著性，而后采用重標極差法計算序列的Hurst系數，判斷序列的趨勢在未來的持續性[8]，判斷方式見表1。

表1. Hurst系數與Mann-Kendall法對序列趨勢綜合判斷表

2 應用實例

大渡河毛頭碼水文站是國家一級水文監測站，是大渡河流域水文觀測的重要控制站，其降雨序列也是本地區及下游水利水電工程的重要參考[9]，本文收集毛頭碼水文站1964-2015年共52年降雨序列，采用重標極差法分析降雨序列的Hurst系數，判斷系列變異點和序列趨勢的持續性，采用Mann-Kendall法檢驗系列的趨勢及顯著性，并結合上述兩種方法的成果，判斷大渡河毛頭碼站未來降雨的趨勢。圖1為大渡河毛頭碼站1964～2015年降雨序列。

圖1 大渡河毛頭碼站年降雨量序列

采用重標極差法對毛頭碼站52年降雨數據進行分析，分段時長τ取值為2，3……26，按重標極差分析步驟依此計算不同分段時長τ時的R/S均值(R/S)τ，并對(R/S)τ和τ取對數，得lg(τ)和lg(R/S)τ序列，采用Hurst系數期望公式計算R/S的期望值對數lg(E(R/S)τ)和Vτ，分別用于求赫斯特系數的期望值E(H)和檢驗序列的平均周期。作lg (R/S)τ與lg(τ)，和lg(E(R/S)τ)與lg(τ)的關系圖(見圖2)。

圖2 實際與理論lg(R/S)τ-lg(τ)關系圖

由圖2可知，大渡河毛頭碼站1964-2015年降雨序列在分段長度為2≤τ≤26時，lg (R/S)τ與lg(τ)擬合直線較好，無明顯拐點，此時擬合直線斜率即Hurst系數為0.754，lg(E(R/S)τ)與lg(τ)點系列擬合直線斜率為0.766，采用U檢驗對降雨系列的Hurst系數和由lg(E(R/S)τ)-lg(τ)點擬合的期望值E(H)進行顯著性檢驗(表2)，由表可知無顯著差異。降雨序列Hurst系數大于0.5，且無明顯變異點，表明大渡河毛頭碼站降雨序列具有長期相關性，未來趨勢將保持一致。

表2 毛頭碼水文站降雨序列赫斯特系數及檢驗結果

利用Mann-kendall法對該降雨序列進行趨勢分析，可知其統計參數Z=-1.95小于零，且|Z|≥Z1-α/2，其中置信水平為90%，Z1-α/2=1.65，表明降雨序列在90%的置信水平下，具有顯著下降趨勢。采用滑動平均法對趨勢檢驗成果進行驗證，滑動平均法的基本公式為：Pt=

表3 Hurst系數與Mann-Kendall法對序列趨勢綜合判斷表

圖3 毛頭碼站降雨量均值及20年滑動平均值對比圖

由表3可知，采用重標極差法計算大渡河毛頭碼站降雨序列Hurst系數，H為0.754，H>0.5且與E(H)無顯著差異，表明序列具有長期持續性；采用Mann-Kendall法，大渡河毛頭碼站降雨系列統計參數Z為-1.95，|Z|>Z0.10，表明毛頭碼站降雨呈顯著的下降趨勢，與滑動平均值結論一致；綜合重標極差法與Mann-Kendall法分析結果可知，大渡河毛頭碼水文站1964-2015年降雨序列呈下降趨勢，且這種下降的趨勢在未來具有持續性，即未來降雨量還會繼續表現為下降。

3 結 語

本文采用重標極差法和Mann-Kendall法對大渡河毛頭碼站1964-2015年降雨序列進行分析，重標極差分析結果表明：該序列lg(R/S)τ-lg(τ)序列點相關性較好，無明顯突變點，且Hurst系數與其期望值較為接近，無顯著差異，表明序列的趨勢具有較強的持續性；Mann-Kendall法分析結果表明，降雨序列在90%的置信水平下，具有顯著的下降趨勢，且與滑動平均法結果一致。

綜合重標極差法和Mann-Kendall法分析結果可知，大渡河毛頭碼水文站降雨量的下降趨勢具有較強的持續性，從1964-2015年共52年的觀測期來看，該站年降雨量具有下降趨勢。大渡河毛頭碼水文站降雨序列未來持續減少的趨勢，可能跟全球氣候變暖及內陸水汽持續減弱有關，其具體原因需進一步研究，但本綜合法為降雨或徑流等隨機性較強的時間序列趨勢預測提供了一種分析工具，具有重要的實用價值。