提升思維能力 加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用
——2020年高考山東物理卷壓軸題評(píng)析與教學(xué)思考

徐忠平

(山東省招遠(yuǎn)第一中學(xué)，山東 招遠(yuǎn) 265400)

1 試題重現(xiàn)

原題.如圖1所示,一傾角為θ的固定斜面的底端安裝一彈性擋板,P、Q兩物塊的質(zhì)量分別為m和4m,Q靜止于斜面上A處.某時(shí)刻,P以沿斜面向上的速度v0與Q發(fā)生彈性碰撞．Q與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)等于tanθ,設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力.P與斜面間無摩擦,與擋板之間的碰撞無動(dòng)能損失,兩物塊均可以看作質(zhì)點(diǎn),斜面足夠長,Q的速度減為0之前P不會(huì)與之發(fā)生碰撞,重力加速度大小為g．

圖1

(1) 求P與Q第一次碰撞后瞬間各自的速度大小vP1、vQ1;

(2) 求第n次碰撞使物塊Q上升的高度hn;

(3) 求物塊Q從A點(diǎn)上升的總高度H;

(4) 為保證在Q的速度減為0之前P不會(huì)與之發(fā)生碰撞,求A點(diǎn)與擋板之間的最小距離s．

命題意圖:本題考查了完全彈性碰撞中動(dòng)量與能量觀點(diǎn)的應(yīng)用,同時(shí)考查了應(yīng)用牛頓第二定律與動(dòng)力學(xué)觀點(diǎn)解題的能力,需要考生有較強(qiáng)的邏輯思維能力與嚴(yán)謹(jǐn)性．本題滲透了較多數(shù)學(xué)知識(shí),需要考生具有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),同時(shí)考驗(yàn)了考生的計(jì)算能力．

試題特點(diǎn):本題應(yīng)用了高中物理教學(xué)中常見的幾個(gè)模型:完全彈性碰撞模型、斜面模型等．題目整體解題思路容易尋找,但對(duì)考生思維能力要求較高,需要考生有清晰的邏輯與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碛?jì)算才能將其正確解出,計(jì)算量較大．

2 解題中的數(shù)學(xué)思維方法

(1) 求P與Q第一次碰撞后瞬間各自的速度大小vP1、vQ1.

該問考查完全彈性碰撞模型,以P的初速度方向?yàn)檎较?

由動(dòng)量守恒定律得

mv0=mvP1+4mvQ1.

(1)

由機(jī)械能守恒定律得

(2)

聯(lián)立(1)、(2)式解得

(3)

(4)

(2) 求第n次碰撞使物塊Q上升的高度hn.

解法1：數(shù)學(xué)歸納法.

設(shè)第1次碰撞后Q上升的高度為h1，對(duì)Q由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得

(5)

聯(lián)立(1)、(2)、(5)式得

(6)

設(shè)P運(yùn)動(dòng)至與Q剛要發(fā)生第2次碰撞前的位置時(shí)速度為v02，第一次碰后至第2次碰前，對(duì)P由動(dòng)能定理得

(7)

聯(lián)立(1)、(2)、(5)、(7)式得

(8)

P與Q的第2次碰撞，設(shè)碰后P與Q的速度分別為vP2、vQ2，第2次碰撞后Q上升的高度為h2,P運(yùn)動(dòng)至與Q剛要發(fā)生第3次碰撞前的位置時(shí)速度為v03,理同第一次碰撞得

(9)

(10)

(11)

(12)

P與Q的第3次碰撞:設(shè)碰后P與Q的速度分別為vP3、vQ3,第3次碰撞后Q上升的高度為h3，同理得

(13)

(14)

(15)

該方法通過計(jì)算前幾次碰撞后物塊Q上升的高度，得出物塊Q上升的高度成等比數(shù)列，最終求出hn.或者也可根據(jù)物塊P碰前速度的等比關(guān)系求出第n次碰撞前物塊P的速度，再通過物塊P碰前速度與物塊Q碰后上升高度的關(guān)系求解物塊Q第n次碰撞后上升的高度,相對(duì)而言計(jì)算量較少.而該方法思維方法較為簡便，計(jì)算量較大，較為耗費(fèi)時(shí)間且對(duì)考生計(jì)算能力要求較高..

解法2：遞推公式法.

設(shè)第n次碰撞后物塊P的速度為vPn，物塊Q的速度是vQn,第n次碰前物塊P的速度為vn.

對(duì)物塊P、Q第n次碰撞，由動(dòng)量守恒定律得

mvn=mvPn+4mvQn.

(16)

由機(jī)械能守恒定律得

(17)

聯(lián)立(16)、(17)式得

(18)

(19)

對(duì)物塊P從第n-1次碰撞位置到第n次碰撞位置，由動(dòng)能定理得

(20)

對(duì)物塊Q第n次碰撞后到靜止，由動(dòng)能定理得

(21)

(3) 求物塊Q從A點(diǎn)上升的總高度H.

解法1：等比數(shù)列求和公式.

解法2：動(dòng)能定理法.

當(dāng)P、Q達(dá)到H時(shí)，兩物塊到此處的速度可視為0，對(duì)兩物塊運(yùn)動(dòng)全過程由動(dòng)能定理得

對(duì)于本題來說，由于第2問中需要求解hn，得到hn為等比數(shù)列，故在第3問中需要求H.即hn的和時(shí)，使用等比數(shù)列求和公式是較為自然的思路，運(yùn)算量較小，容易得到正確結(jié)果，而若是使用動(dòng)能定理法，可能有些考生由于思維不夠嚴(yán)謹(jǐn)，對(duì)物塊Q上升H后兩物塊所處的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分析不清，導(dǎo)致出現(xiàn)錯(cuò)誤.若是沒有第2問的鋪墊，直接求解物塊Q上升的高度，則認(rèn)真對(duì)兩物塊的最終運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行分析，再使用動(dòng)能定理法更為簡便.

(4) 為保證在Q的速度減為0之前P不會(huì)與之發(fā)生碰撞，求A點(diǎn)與擋板之間的最小距離s.

由分析可得，隨著碰撞次數(shù)增加，碰后物塊Q的速度減小，減速到0所用時(shí)間減少，而物塊P距離底部擋板距離增大，碰后速度減小，返回至斜面上與物塊Q碰撞所用時(shí)間增大，故要使物塊P在物塊Q的速度減為0之前不會(huì)與之發(fā)生碰撞，只需第1次碰撞后在物塊Q的速度減為0之前物塊P不會(huì)與之發(fā)生碰撞.

設(shè)Q第1次碰撞至速度減為0需要的時(shí)間為t1，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得vQ1=2gt1sinθ.設(shè)P運(yùn)動(dòng)到斜面底端時(shí)的速度為v，需要的時(shí)間為t2，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得

v=vP1+gt2sinθ，v2-vP12=2gsinθ.

設(shè)P從A點(diǎn)到Q第1次碰后速度減為0處勻減速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t3，

v02=(-vP1)-gt3sinθ.

當(dāng)A點(diǎn)與擋板之間的距離最小時(shí)，

t1=2t2+t3.

3 教學(xué)思考與啟示

3.1 重視模型

3.2 培養(yǎng)對(duì)多物體多過程題目的分析能力

本題涉及兩個(gè)物塊，碰撞、勻變速直線運(yùn)動(dòng)等多個(gè)過程，需要理清物塊在不同位置不同時(shí)刻的速度、受力、運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，容易出現(xiàn)在某個(gè)過程有些點(diǎn)沒有注意或重復(fù)計(jì)算、受力狀態(tài)分析不清、相對(duì)空間位置混亂等問題.為此，需要培養(yǎng)學(xué)生條理分析每個(gè)過程的能力，養(yǎng)成每個(gè)狀態(tài)畫受力分析圖、相對(duì)位置關(guān)系圖的習(xí)慣，減少受力分析時(shí)出現(xiàn)的錯(cuò)誤，使各個(gè)物體之間的相對(duì)位置關(guān)系更加清晰、直觀.同時(shí)規(guī)范符號(hào)的角標(biāo)，明晰其代表的含義，規(guī)范思路的嚴(yán)謹(jǐn)性.

3.3 培養(yǎng)一道題研究多種解法的習(xí)慣

高考是限時(shí)答題，考生在平時(shí)的訓(xùn)練中不應(yīng)只滿足于會(huì)做題，而應(yīng)當(dāng)在已經(jīng)解出答案的基礎(chǔ)上繼續(xù)思考：是否能從另外的角度入手解題，哪種觀點(diǎn)更適合用于解決該類問題，如何能夠更加快捷地解出這個(gè)問題，如果換了問題的問法是否另一種方法就會(huì)變得簡便.只有在平常的訓(xùn)練中保持這樣思考的習(xí)慣，才能在考試時(shí)迅速地找到解決方法，迅速且準(zhǔn)確地解決問題，有足夠的時(shí)間完成有能力解決的題.

3.4 加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用

在高中物理教學(xué)中，要培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)方法與物理思維有機(jī)融合的能力，需要做到兩點(diǎn)：一是對(duì)初高中所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)熟練掌握，在教授學(xué)生時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生使用某些數(shù)學(xué)方法，而不是對(duì)涉及到數(shù)學(xué)知識(shí)的部分避而不談；二是培養(yǎng)學(xué)生從物理問題中抽象出數(shù)學(xué)問題的能力，在求解物理問題時(shí)，使用物理規(guī)律將各物理量間的關(guān)系列出后，然后利用函數(shù)、方程等數(shù)學(xué)知識(shí)求解，將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.如2020年山東高考物理題的第18題(2)便是利用動(dòng)能定理，動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒等規(guī)律列出各物理量間規(guī)律，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)得出hn與hn-1間的遞推公式，從而求解.

在物理的學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)是必不可少的一樣工具，但數(shù)學(xué)在物理中的應(yīng)用，并不只限于數(shù)據(jù)的計(jì)算與處理，還包括運(yùn)用數(shù)學(xué)中的公式定理對(duì)運(yùn)算進(jìn)行簡化，使用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)從另一個(gè)角度更加簡便地解決物理中的難題，將學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)的思維方法遷移到物理的學(xué)習(xí)中，另辟蹊徑，找到更加簡單的解題方法.

例題.一簡諧橫波沿x軸正向傳播，圖2(甲)是t=0時(shí)刻的波形圖，圖2(乙)是介質(zhì)中某質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)圖像，0時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)位移為-0.1 m，2 s在平衡位置處，則波的傳播速度為

圖2

(C) 0.8 m/s. (D) 1.5 m/s.