用字典排列法解答的一道改編題

甘志國

(北京市豐臺二中 100071)

基金項目：本文系北京市教育學會“十三五”教育科研滾動立項課題“數學文化與高考研究”(課題編號FT2017GD003，課題負責人：甘志國)階段性研究成果之一.

改編題(由普通高中課程標準實驗教科書《數學·選修2-3·A版》(人民教育出版社2009年第3版)第41頁第2題改編)用數字0,1，2，3，4，5組成沒有重復數字的六位數，問：

(1)其中有多少個是奇數？

(2)其中有多少個大于201345？

(3)其中的320514是從小到大排列的第幾個數？

(4)其中從小到大第300個數是幾？

(5)其中從大到小第300個數是幾？

綜上所述，可得所求答案是321540.

綜上所述，可得所求答案是324015.

注這道改編題的解法就是字典排列法.

下面這道類題的解法也是字典排列法.

類題[1][2](2013年華約自主招生數學試題第1題)已知集合A={x|x≥10,x∈N},B?A，且B中的每個元素同時滿足：(a)各數位上的數字互不相同；(b)任意兩個數位上的數字之和不為9.求：

(1)B中有多少個兩位數？多少個三位數？

(2)B中是否有五位數？是否有六位數？

(3)將B中的元素從小到大排列后，第1081個元素是多少？

解將0,1,2,…,9中和為9的數字兩兩配成5對：(0,9),(1,8),(2,7),(3,6),(4,5).

得B中的元素不能同時含有上述一對數字中的兩個數字.

(1)對于B中的兩位數：十位數字有9種選法(可選1,2,…,9)；十位數字選定后，個位數字有8種選法(與十位數字不同，且不能是上面配對的數).所以B中的兩位數為9×8=72個.

對于B中的三位數：百位數字有9種選法(可選1,2,…,9)；百位數字選定后，十位數字有8種選法(與十位數字不同，且不能是上面配對的數)；百位、十位數字均選定后，個位數字有6種選法(與百位、十位數字均不同，且均不能是上面配對的數).所以B中的三位數為9×8×6=432個.

(2)B中有五位數，比如12340.

因為在上面配成5對數的每對數中至多只能選一個作為B中數的數字，所以B中沒有六位數.

(3)由(1)的結論知，B中的兩位數、三位數共72+432=504個.同理可求得B中的四位數為9×8×6×4=1728個.

所以將B中的元素從小到大排列后，第1081個元素是四位數，且是四位數中從小到大的第1081-504=577個.

B中的四位數中，千位數字為1,2,3的各為8×6×4=192個，共192×3=576個，所以所求答案是將B中的元素從小到大排列后的最小四位數，即4012.