探究一道高考填空題的11種解法

李昌成 茍芳蘭

(1.新疆烏魯木齊市第八中學 830002；2.新疆庫爾勒市教育研究中心 841000)

茍芳蘭(1978-)，女，甘肅省武山人，本科，中學高級教師，從事中學數學教學研究.

一、試題呈現

二、總體分析

如圖1，要求已知橢圓上一點M的坐標，我們必須理清題意，準確把握信息，并找到信息之間的關聯.由橢圓方程知2a=12，2c=8，F1(-4,0),F2(4,0).因為△MF1F2是等腰三角形，結合橢圓的軸對稱性知|F1M|=|F1F2|=8.進而由橢圓的定義知|MF2|=2a-|MF1|=4.也就是說，△MF1F2的三邊均已知.那么本題可以通過等積法求解；也可以借助正余弦定理解題；還可以直接求交點.研究發現，本題入口寬闊，思路靈活，是鞏固基礎知識，訓練思維，提高綜合解題能力的良好素材.

三、解答試題

1.利用等積法求解

2.借助三角函數解題

分析在直角三角形中定義了三角函數，此定義與角終邊上的點的坐標緊密相關.已知三邊利用余弦定理能夠求得三角形的任一內角的余弦值，二者結合起來，問題可以得到解決.本問題中，點M又在第一象限，就更容易處理了.

以下同解法5.

評注以上兩種方法恰當利用了直角三角形與平面上點的坐標之間的關系，解題中三角函數提供了有力的支撐.二倍角公式的應用能感受到命題專家的良苦用心，把學生對知識的應用能力考查得悄無聲息，酣暢淋漓.這兩種解法都避開了解析幾何的繁雜運算.

3.直接求交點

分析本題中已有直線和橢圓，我們還可以發掘出相關的圓，利用直線與直線、直線與橢圓、橢圓與圓求交點也能順利地完成解答.求交點是解析幾何的基本知識，人人皆知，但是在高考的關鍵時候，腦海里一直在翻騰那些高大上的特殊技巧，而可能忽視這些通解通法.

解法8 如圖1，點M也可以看作是直線MF1與橢圓C的交點.

解法9 如圖1，點M還可以看作是直線MF2與橢圓C的交點.

評注以上五種解法利用解析幾何的基本方法，聯立直線與直線，或直線與曲線，或曲線與曲線求交點，思路簡捷.這一題把解析幾何中的直線、圓、橢圓等主干知識進行了全面的考查.在平時教學只要注意這些基本功的訓練，學生應該可以掌握，并形成知識技能.本題中直線方程需要自己建立，圓需要想象構造，再建立其方程.這些就是能力的體現.每種解法都是創新思維的產物，近年來高考特別強調創新，我們平時訓練要打破慣性思維的束縛.

四、解后反思

本題不是一道難題，但是一道好題.對學生的能力考查得淋漓盡致.不同層次的學生投入不同的時間都能解出來，代價不同而已.命題專家給學生留了很多入口，代數方向的，幾何方向的，二者結合的，用相應的知識都能作答，以達到考查的學生知識技能目的.這啟發我們在高考復習過程中，務必把基礎知識扎牢，基本功訓練到位，知識間的關系理順.提倡常規題型創新解答，培養學生創新思維.注重一題多解，在比較中發現最優解法，為正式考試贏得時間.平時教學應注重知識的生成過程，這樣有利于知識的融會貫通，形成發散思維.還應注意歸納總結，每類問題有哪些處理的方法做到胸有成竹，防止在一棵樹上吊死.正如本題，三角形面積求法，交點的求法等等都不是一次性習得的，所以要抓住一些機會好好總結，而不是翻來覆去地刷題，形成思維定勢，練百個陳題不會做一個新題.小題大做，小題巧做，對提升大題的應試能力也是大有裨益的.