圖象性質顯身手 指數函數妙應用

張霆熊

(上海市羅店中學 201908)

指數函數是高中數學最基本的函數模型之一，也是最重要的函數模型，是中學基本初等函數中非常重要的一種，是高考必考內容之一.特別指數函數的圖象與性質，其綜合了指數函數的解析式、函數值、定義域、值域、圖象以及性質等相關知識，應用比較兩個數的大小、解決含參數問題，以及指數不等式和指數函數的綜合應用問題等.特別對于其圖象與性質的應用是比較常見的題型.

一、數形結合巧應用

正確作出指數函數的圖象，并借助圖象與性質加以數形結合，可以用來解決很多與指數函數相關的數學問題.直觀形象，簡單快捷.

A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)

圖1

分析直接判斷x0所在的區間有困難，而通過作出相關指數函數與函數y=x3的圖象，數形結合來確定兩函數圖象的交點，進而確定x0所在的區間.

點評對于涉及多個基本初等函數的交點問題，或是涉及指數函數的方程或不等式問題，經常可以合理分解，轉化為兩個相應的函數問題，數形結合，直觀明晰，化難為易，快捷處理.

二、化歸轉化巧應用

在破解一些比較復雜或不易直接切入的指數函數問題時，往往借助化歸與轉化思想，利用相關條件的化歸與轉化，進而把問題具體化，直觀化，方便結合指數函數的圖象與性質來有效處理，合理化歸，巧妙轉化.

例2已知關于x的不等式1+2x+(2a+1)4x>0在(0，+∞)上恒成立，求實數a的取值范圍.

分析通過對涉及指數函數的不等式恒成立問題加以化歸與轉化，引入參數，把相應的指數函數問題轉化為二次函數問題，利用二次函數的圖象與性質來確定對應的參數取值范圍問題，達到等價轉化解決的目的.

點評化歸與轉化思想可以有效實現抽象問題具體化，復雜問題簡單化，同時實現不同問題之間的等價轉化與變形.而利用化歸與轉化思維，結合指數函數的圖象與性質是解決指數函數問題的很好方法.

三、分類討論巧應用

在指數函數y=ax(a>0，且a≠1)中，如果涉及的題目中沒有對底數a的取值范圍加以確定，往往要根據題目條件分01兩種不同情況加以分類討論，進而解決相應問題.

分析結合恒成立的不等式的等價轉化，構建熟悉的基本初等函數，通過指數函數與二次函數的構建，結合對應的函數圖象加以數形結合，在此基礎上分類討論，從而得到參數的取值范圍.

圖2

點評帶有參數的函數問題，特別在利用函數圖象來分析參數值時，根據參數對函數圖象的影響，經常利用分類討論來分析與處理，特別對于指數函數問題，底數情形比較不同，不能進行統一研究時，則應分類進行研究.

四、現實生活巧應用

指數函數模型來源于現實，并用于解決實際問題.在實際生活中，經常有一些對應的指數函數模型，可以有效借助指數函數的圖象與性質來分析與處理.

圖3

例4如圖所示，已知某池塘中的浮萍蔓延速度所對應的面積y(m2)與時間t(月)滿足函數關系式：y=at，給出以下五個敘述：

①這個指數函數的底數a=2；

②第5個月時，浮萍面積不低于28m2；

③浮萍從4m2蔓延到12m2需要經過2個月；

④浮萍每月增加的面積都相等；

⑤若浮萍蔓延的面積為2m2、3m2、6m2所經過的時間分別為t1、t2、t3，則有t1+t2=t3.

其中敘述正確的所有編號為：____.

分析根據題目條件，關鍵在于通過特殊點求出對應的指數函數的解析式，從而再根據相應的指數函數判斷對應的性質等.

解析取圖象上的點(1，2)代入y=at可得a=2，則①是正確的；對于指數函數y=2t，當t=5時對應y=25=32>30，則②是正確的；當y=4時對應t=2，當y=12時對應2t=12，此時對應的t<4，則從4m2蔓延到12m2需要經過不到2個月，則③是錯誤的；對于指數函數y=2t，每月增加的面積都不相等，則④是錯誤的；對于指數函數y=2t，若浮萍蔓延到2m2、3m2、6m2所經過的時間分別為t1、t2、t3，則有2t1=2，2t2=3，2t3=6，那么有2t1×2t2=2t1+t2=6=2t3，則t1+t2=t3成立，故⑤是正確的.

綜上分析，其中敘述正確的是：①、②、⑤.

點評對于科學生活中的指數函數問題，關鍵是把實際應用中的問題轉化為指數函數，根據指數函數的定義、解析式、性質等加以分析處理，從而得出科學合理的判斷與推理.以現實生活為背景材料的新穎的應用題已成為高考命題的熱點應用之一.