利用組合知識求二項(三項)展開式中的指定項(系數)

田素偉

(上海市泥城中學 201306)

二項式定理是高中數學的重要知識，在高考中考查的二項式定理大多是以填空題的形式出現.在掌握二項式定理及其通項公式的基礎上，學會利用計數原理與組合知識求二項(三項)展開式中的指定項(系數),會起到事半功倍的效果.

一、一個二項式展開式中的指定項(系數)

例題1在(1-2x)6的展開式中，x2的系數為____(用數字作答).

所以在(1-2x)6的展開式中，x2的系數為60.

故答案為：15．

二、兩個二項式乘積展開式的指定項(系數)

A．15 B．20 C．30 D．35

評析對于兩個二項式乘積或者幾個多項式積的展開式中的特定項(系數)的問題，可以利用類似單項式與多項式的乘法或者多項式與多項式的乘法，轉化為多項式和的形式，然后利用組合知識來解決展開式指定項(系數)的問題.常需分類解決展開式中的特定項(系數)，求出相應的特定項(系數)，最后再進行合并．

練習(2019年高考全國卷)(1+2x2)(1+x)4的展開式中x3的系數為____.

A．12 B．16 C．20 D．24

簡析(1+2x2)(1+x)4=(1+x)4+2x2(1+x)4.

三、求三項式展開式的指定項(系數)

例3(2015高考新課標1，理10)(x2+x+y)5的展開式中，x5y2的系數為( )

A.10 B.20 C.30 D.60

2.在(x2-3x+2)5的展開式中，x項的系數為____(結果用數值表示)．

3.(x2-x+1)10展開式中x3項的系數為(-210).

分析(x2-x+1)10的展開式是10個(x2-x+1)相乘的結果.要其展開式中含x3的項，在本題(x2-x+1)10展開式中x3項，10個(x2-x+1)任意取3個括號內的(-x)相乘，可以得到x3項，10個(x2-x+1)任意取1個括號內(-x)與1個括號內的x2相乘，也可以得到x3項，所以分兩類.

(x2-x+1)10展開式中x3項的系數為-210.

利用計數原理和組合知識在求三項式展開式的指定項(系數)時的更為簡捷，所以在掌握二項式定理及其通項公式的基礎上，學會利用組合求二項(三項)展開式中的指定項(系數)，可以使這類問題的解題更為簡便.