基于仿射算法的電路與系統可靠性研究*

丁同禹，王孟于

（集美大學 信息工程學院，福建 廈門 361021）

引言

隨著電子與遠程通信技術的飛速發展，電子電氣設備與系統的集成度不斷提高，其在制程及使用過程中受工藝或外界電磁干擾影響而產生參數不確定性（parameter uncertainty）的現象日益嚴重[1-3]，比如，設備、元件及線路在長期使用后發生老化；各種外界因素（溫度，空氣濕度，靜電放電等）對元件、線束造成性能改變或損壞等。一旦這些內部或外界的干擾因素造成了設備或元件電參數（如微帶線的介電常數）的變化，將會直接影響整個系統的性能，造成電路或系統可靠性的下降和安全系數的大幅降低。

不僅如此，不確定參數問題還會對電磁信號傳播特性的研究造成危害，尤其是室內環境的無線信道建模。在利用射線追蹤（ray-tracing）、時域有限差分（FDTD）等方法建立指定室內場景無線信道模型時，目標環境中的不確定參數（如空氣濕度導致的建筑物墻體電導率及介電常數變化，施工過程產生的建筑物幾何尺寸誤差等），會在信道模型中引入大量的隨機變量，導致該模型的輸出（如路徑損耗等）變成不確定的范圍區間，從而降低模型可信度，嚴重影響其在無線系統布局及優化中的應用價值。

因此，當電路、元件或電磁環境中某一媒質的電磁參數發生變化時，亟需對系統響應的隨機特性進行預測和評估，有效地降低不確定參數對電路與系統可靠性造成的危害；在信道建模研究等領域則可獲取更為完整的電波傳播特性數據和信息，提高無線信道模型的可信度。

1 最壞分析算法

最壞分析算法作為一種高效的數值仿真技術能夠準確分析不確定參數系統的隨機特性并預測其響應（輸出）的變化范圍，不僅可為電路系統的可靠性評估提供依據，還能縮短研發周期，提高設備與系統的安全系數[4]。用于不確定參數系統分析的傳統數值技術大都以概率類算法為基礎，如以Monte Carlo算法為代表的基于抽樣理論的系列方法，通過大量的隨機試驗來覆蓋不確定參數可能出現的所有取值，從而不斷接近所要預測的真實邊界，其缺點是當不確定參數變化范圍較大時，所需的樣本數量異常巨大，導致效率急劇下降（Monte Carlo算法的收斂速度為為樣本數量），即便如此，其預測結果仍然可能出現遺漏真實值的情況。

相比之下，基于最壞分析算法的數值技術以絕對保守的方式對系統輸出進行預測，其所提供的預測結果能夠覆蓋所有的真實情況，即“始終包含全部可能出現的真實結果”，不會產生任何遺漏，從而提供比經典的概率類算法更加可靠的預測結果。同時，最壞分析類算法的收斂速度在變量數相對較少時遠大于概率類算法，在效率上也具有明顯的優勢。

2 仿射算法的基本原理

作為最壞分析算法的典型代表，仿射算法（affine arithmetic，AA）的概念在20世紀90年代由Comba和Stolfi首次提出[5]。仿射算法能夠實現對預測對象浮動范圍的保守估計，即直接預測電路與系統可能出現的最壞情況。該算法從區間算法（interval analysis）變形而來，因此也能夠自動記錄浮點的截尾和舍入誤差。此外，仿射算法增加了一些附加的噪聲系數，若多個仿射形式有相同的噪聲系數，那么證明兩者具有關聯性，仿射形式之間關聯性和依賴性可以根據變量之間相同噪聲系數的多少決定。這種明確變量之間關聯性的方法，有助于辨別計算過程中所記錄的各個不確定參數的依賴關系，如果變量之間的噪聲系數呈負相關時，可以通過計算變量相互抵消達到減小區間擴張值的目的，得到更小的區間結果，提高計算結果的準確性，同時縮短計算時間。

在區間算法中，變量是使用兩個臨界點的極值來表示，例如，xˉ=[a，b]代表一個變量 x，其取值范圍落在區間[a，b]之內。該方法的主要缺陷是無法捕捉到各個變量之間的關系，從而導致對真實區間邊界的“高估”。仿射算法對不確定參數的表達形式進行了修訂，同樣對于一個區間變量 x∈[a，b]，其對應的 AA 變量表達為：x?=x0+x1?，其中 x0=（a+b）/2，而 x1=（b-a）/2 稱為其“半徑”，噪聲系數 ?是一個取值范圍始終在±1之間的獨立區間變量。可見，相比于傳統的區間算法，仿射算法在運算過程中考慮了變量之間的關聯，并將其引入到計算鏈中，從而有效消除了變量裕量疊加所引起的過度估計，對于任意一個給定的含有n個不確定因素的隨機變量，其仿射表達形式為：

在此定義下給出的變量x?的最壞邊界為（上下邊界）：x0±Σi|xi|。若已知兩個獨立的區間變量：x?和y?，其仿射形式的乘法運算如公式（2）所示。

顯然地，在此過程中產生了一個新的高階項。為了消除該項所引入的計算復雜度，引入一個新的變量：ζ。令：

3 基于仿射算法的矩陣運算

3.1 參數矩陣求逆

矩陣求逆是電路頻域求解過程中十分關鍵的一項內容。對于仿射形式的變量矩陣，其求逆運算需要結合其他數值算法，為了敘述簡便，本文只討論一個不確定因素的情況，例如求解：

其中，X0是中心矩陣，X1代表不確定干擾因素?1的“半徑”矩陣。當X1的秩為1時，使用Sherman Morrison公式對其求逆，過程如式（5）所示。

則需要將其拆分成若干個秩為1的子矩陣的加和形式，然后逐項使用公式（5）完成求逆運算。

3.2 參數矩陣的指數運算

集總和分布式電路求解過程中經常使用到的另一項運算就是求矩陣指數。本文使用了bilinear近似公式作為輔助技術，完成仿射形式的矩陣指數運算，如公式（7）所示：

其中，I為單位矩陣，Y0=exp（X0）為新的中心矩陣，ΔX=X1?1+…+Xn?n為原矩陣的全部干擾項。進一步化簡ΔY可得：

4 不確定參數電路的時域分析

本節應用仿射算法完成一個元件參數為不確定量的RLC電路的時域仿真和分析，電路圖如圖1所示。其中，L=1mH，RL=0.5Ω，C=10μF，RC=0.5Ω，R=20Ω。設電容 C 存在±50%的容差，應用仿射算法預測輸出（電感電流iL（t））的響應范圍。

圖1 含有不確定參數元件的RLC電路

首先對該電路的狀態方程：x˙（t）=Ax（t）+bu（t）（其中狀態向量x（t）=[iL（t），vC（t）]T為電感電流和電容電壓，且x（0）=[0，0]T）進行時間離散：

其中，

以上公式中的a//b表示并聯：a·b/（a+b）。

應用上文所述的仿射算法數值結構，依次完成本電路求解運算中所需要的對參數矩陣A的求逆和指數運算，并解得仿射形式的電感電流iL（t）在時域的輸出波形如圖2所示。

如圖2所示，本文所使用的基于仿射算法的數值架構能夠有效預測在RLC電路的電容值出現變化時，電路的時域輸出波形可能產生的變化，并成功估計了電感電流在時域可能出現的最大值和最小值兩種極端情況。為了驗證算法的有效性，與經典的Monte Carlo隨機試驗方法（圖2灰色實線）進行了對比驗證，結果表明仿射算法（圖2黑色實線）的預測范圍準確，同時在Matlab環境下運行時仿真速度達到Monte Carlo算法（10000次隨機試驗）的3倍以上。

圖2 電感電流iL（t）的預測結果

5 結束語

以電路與系統的可靠性預測為目標，本文對一種典型的RLC電路進行了基于仿射算法的最壞分析。該研究通過將仿射算法與其他數值技術，如Sherman Morrison公式，bilinear數值近似等技術結合，解決了仿射形式矩陣的運算問題，進而求解了目標電路的電容元件參數發生變化時，系統響應的變化范圍。該預測結果與經典的Monte Carlo方法進行了對比，不僅達到了較高的精度，且在運算效率上得到了顯著提高。