發動機外部管路系統的卡箍布局多目標優化

徐培原，劉 偉

（1.航空工業航宇救生裝備有限公司，湖北襄陽441003；2.西北工業大學力學與土木建筑學院，西安710129）

0 引言

管路系統是航空發動機介質傳輸和動力傳遞的通道，布局走向復雜。卡箍是固定與支承管路的重要裝置，對提高管路剛度、實現管路頻率調節具有重要作用，合理的卡箍布局是抑制管路系統振動的最有效、最簡便的方法。目前，在工程中很多卡箍的選型、位置和數量是從原型機上直接比對移植過來的；一些局部管路的卡箍有時還需要技術人員現場調整，隨機性較大，缺乏具體的理論指導，卡箍布置的經驗性與隨意性可能會導致管路結構的固有頻率落入發動機工作頻率附近，從而引發共振或局部振動應力過大。因此，研究發動機復雜管路的卡箍布局優化設計方案具有重要意義。

管路系統的卡箍位置優化已經引起了一些學者的關注。顧文彬[1]研究了直管在不同激勵形式下的卡箍位置優化問題，表明自由振動、瞬態響應和隨機響應下的卡箍位置具有不同的最優解；Wang[2]采用啟發式優化算法，以減小形變和增大基頻為目標，對直梁和支撐板結構進行卡箍位置優化；劉偉等[3]對多卡箍管路進行動力靈敏度分析，找出對目標影響較大的若干個卡箍位置參數，分別進行1 階頻率調節和降低隨機振動應力的卡箍位置優化；智友海等[4]基于疲勞累積損傷的破壞準則方法，研究了隨機振動下管路系統卡箍的位置對管路結構可靠性造成的影響；陳艷秋等[5]基于有限元法以頻率調節和調幅為目標，對發動機導管卡箍剛度進行優化；李鑫等[6]將管路-卡箍系統的激勵振源頻率點的特征阻抗加權和最小設置為評價指標。目前卡箍優化研究存在2 個問題：（1）研究對象主要為直管或者平面管路，然而在實際工程中管路結構多樣，走向復雜。而且，發動機管路和卡箍需要布置在機匣曲面上，需要研究曲面復雜管路的參數化方法；（2）現有優化的頻率調節目標主要是單頻段，然而發動機激勵經常是1 個較寬的頻段，結構的多階固有頻率都可能與激勵頻率接近，易引發管路其他頻段的共振，諸如頻率調節或者隨機振動的單一目標的控制方法難以滿足需求。因此，需要探討發動機復雜管路卡箍布局優化的多目標優化方法。

本文采用靈敏度分析的方法確定了對發動機曲面上管路系統動力學特性影響較大的若干卡箍位置參數，以前4 階固有頻率遠離發動機工作頻率和隨機振動應力均方根響應最小化這2 個原則為優化目標，對關鍵卡箍位置參數進行優化設計，以期為復雜管路的振動控制提供參考。

1 優化設計

對發動機外部管路卡箍布局進行優化設計，首先需要確定優化目標，本文的優化目標有2 個：（1）實現頻率調節，使結構前4 階固有頻率遠離外界激勵；（2）隨機振動的應力均方根響應最小化。

1.1 頻率調節

根據振動設計要求，卡箍的安裝應當使得結構的固有頻率遠離共振區（即發動機工作頻率附近）。

令頻率比λ=ω/ωn，ω為發動機工作頻率，ωn為結構的第n階固有頻率，工程中通常取0.75＜λ＜1.25的區間為共振區[7]，由此可以近似推導出，當結構的第n階固有頻率滿足0.8ω＜ωn＜1.3ω時，結構有發生共振的風險。為了使第n階固有頻率離開共振區，該階固有頻率Pn需要滿足

同時，為了比較不同的卡箍布局下第n階固有頻率遠離共振區的程度，令Qn=|ωn-1.05ω|，Qn即為第n階固有頻率相對于共振區中心的偏離程度，優化的過程是在滿足式（1）的同時盡可能使Qn最大化。

1.2 應力均方根響應

發動機管路處在復雜的振動環境中，需考察管路的隨機振動響應。

隨機振動可視為概率統計問題，無法獲得某一瞬時具體響應數值，隨機振動的響應分布可近似看作高斯分布，主要考察各物理量的均方根響應，某個物理量的均方根響應可看作該物理量響應分布的標準差。取管路結構x方向的最大應力均方根響應RS1為優化對象，在優化中盡可能減小RS1的數值[8]。

2 遺傳算法

遺傳算法是目前在工程領域中極為常用的1 種優化算法，是受自然界生物進化過程的啟發而產生的。基于生物進化原則，根據每代種群個體對環境的適應程度來對個體進行篩選，適應度高的個體將被保留，適應度低的個體將被舍棄，之后被保留的個體再經歷交叉、變異2 個步驟的處理，將其遺傳信息傳遞給下一代。在逐代的遺傳過程中，個體對環境的適應程度越來越高，越來越逼近最優解。遺傳算法的主要流程如圖1 所示。

圖1 遺傳算法主要流程

在工程實際中多為多目標優化問題，本文選用的NSGA-II[9～11]算法是1 種較為常見的多目標遺傳算法。

3 復雜管路系統的建模

3.1 卡箍模型

由于卡箍在整個管路系統中所占的質量分數與體積分數較小，在分析計算時忽略卡箍的質量與體積對管路系統帶來的影響，重點研究卡箍對調整管路系統剛度的作用。

在工程中使用的卡箍雖然種類繁多，但作用基本相似，主要是限制管路徑向位移。將卡箍簡化為彈簧單元，一端連接管路，與發動機連接的另一端全約束，對沿管路徑向的位移進行限制，如圖2 所示。

圖2 卡箍限制管路的2 個徑向位移

3.2 管路模型

發動機外部管路由直管、彎管、端口接頭等組成，管路兩端固定，其結構如圖3 所示。與一般的直管優化不同，該結構的卡箍分布在圓柱曲面上，不僅需要考慮卡箍在直管上的直線移動，還需要考慮卡箍在彎管上的彎曲移動。

管路材料為1Cr18Ni9Ti 不銹鋼，密度為7.8 g/cm3，彈性模量為206 GPa，泊松比為0.31，管徑為8 mm，壁厚為1 mm，所受內壓為21 MPa。

發動機管路結構主要由2 段長度不同的直管與1 段圓弧彎管組成（圖3），L1為長直管，長2700 mm；L2為短直管，長1200 mm；L3為圓弧彎管，旋轉半徑為720 mm，旋轉角度為240°。

圖3 發動機外部管路結構

3.3 原始卡箍位置分布

原始管路系統結構的卡箍分布如圖4 所示。從圖中可見，管路結構中有23 個卡箍，依次編號為K1～K23，L1上卡箍數量為9 個（K1～K9），L2上卡箍數量為4 個（K10～K13），如圖4（a）所示；L3上卡箍數量為10個（K14～K23），如圖4（b）所示。每個局部坐標系代表1個卡箍所在的位置，卡箍徑向剛度為1×104N/mm。

圖4 在直管和彎管上卡箍的布局

3.4 原始管路結構的動態特性分析

在優化計算中，若設發動機在某一試車工況下的工作頻率為100 Hz，根據式（1），對應的共振頻段為[80 Hz，130 Hz]。結構受到的隨機振動功率譜密度見表1。功率譜采用標準中規定的機載設備譜，激勵沿如圖3 所示坐標系中的x方向加載在結構整體上。

表1 結構受到的隨機振動功率譜密度

對原管路結構進行模態分析與隨機振動分析，前4 階固有頻率與x方向最大應力均方根見表2。

表2 原管路系統優化前4 階固有頻率和應力均方根計算結果

從表2 中可見，結構在優化前x方向最大應力均方根響應為34.318 MPa，且第2、3、4 階固有頻率均處于共振區[80 Hz，130 Hz]之內，有引發共振的風險，需要對卡箍位置進行優化。

4 卡箍位置的參數化與靈敏度分析

4.1 卡箍的參數化建模

參數化設計可以修改原有的模型以使其達到新的目標狀態，便于在不同的設計參數下對結構進行分析。在所研究的管路系統中，卡箍數量眾多，分布方式復雜，選取卡箍模型的安裝位置作為參考變量，可以隨時調整卡箍的位置參數，從而通過仿真計算評估不同的卡箍布局對于管路系統剛度的影響，對管路系統的動態響應特性做出預測，對多卡箍復雜管路系統的卡箍安裝提供指導。

4.2 卡箍位置的參數化

為了對結構進行優化設計，首先需要將卡箍位置參數化，如圖5（a）所示。對于L1上的卡箍K1～K9，設L1左端約束處為參考零點，卡箍Ki到L1參考零點的距離為mi（i=1，2，…，9）；對于L2上的卡箍K10～K13，設L2右端起始處為參考零點，卡箍Ki到L2參考零點的距 離 為mi（i=10，11，12，13）；對 于L3上 的 卡 箍K14～K23，設L3與接頭連接處為參考零點，參考零點繞圓弧管路圓心旋轉到達卡箍Ki位置時所轉動的角度為θi，為了便于卡箍編號與位置參數對應，參數θi由i=14 開始計數（i=14，15，…，23），如圖5（b）所示。mi與θi即為表達卡箍位置的參數，當全部參數確定時，管路上有惟一1 種卡箍布局與之對應。

圖5 在直管和彎管上卡箍位置的參數化

4.3 卡箍位置參數靈敏度分析

設函數y=f（x），x為設計參數，當x=x0時增加Δx，設計響應變化為Δy，用來表述在x0附近x對y的敏感程度，往往設計響應同時與幾個設計參數有關，故用響應對該參數的偏導數來表述設計參數對設計響應的敏感程度。

由于發動機管路卡箍數量眾多，對所有卡箍進行位置優化是復雜且效率極低的工作，需要選擇對優化目標影響較大的卡箍來分析，因此在優化前需要對參數進行靈敏度分析，挑選靈敏度較大的參數來進行控制與優化，關于靈敏度的求解問題，文獻[3]中有詳細說明。

求解各參數對前4 階固有頻率以及x方向應力均方根的靈敏度，由于mi與θi的單位不同，為了對其靈敏度進行比較，依據歸一化公式（2）進一步求解各參數的歸一化靈敏度歸一化靈敏度表達函數相對增量與參數相對增量之比稱為相對靈敏度

相對靈敏度計算結果如圖6 所示。從圖中可見，挑選對前4 階固有頻率和應力均方根響應影響最大的卡箍位置參數，對第1～4 階固有頻率影響最大的參數分別為θ14、m13、m9、m10，對應力均方根響應影響最大的參數為θ21，著重對這5 個變量進行優化設計。

圖6 卡箍對各參數的相對靈敏度分析

5 NSGA-II 算法下卡箍布局的適應度評估

卡箍布局的適應度由優化的目標函數決定，根據指定的2 個優化目標，優化設計所設定的目標函數為

5.1 Pareto 非支配解集

為了對卡箍布局的適應度進行評估，首先對Pareto 非支配解集的概念進行說明。

對于最小化多目標問題，n為任意正整數。

為目標向量函數給定1 個變量

設該變量的約束條件為

根據多目標優化問題的數學表達方式來看，最終要求的解是1 個設計變量組合，在滿足約束條件的前提下，使優化目標達到最優，但是由于在多目標優化問題中，目標函數之間可能會有相互競爭的關系，所以最終只能得出相對較優的方案。優化得到的不是1個最優解，而是一系列相對最優解組成的解集，稱為Pareto 最優解集或Pareto 非支配解集。

對于2 個向量Xu和Xv，當且僅當對于任意正整數w

有

且至少存在1 個正整數e

使得

則稱Xu支配Xv。

對于2 個向量Xu和Xv，當且僅當對于

使得

同時

使得

則稱Xu與Xv互不支配[12-13]。

非支配解集概念的提出，為多目標遺傳算法的個體優劣評估提供了重要途徑，解決了多目標遺傳算法中適應度函數難以構建的問題，也為卡箍不同的優化方案的優劣提供判斷依據。

5.2 適應度評估

在單目標遺傳算法中，基因信息被遺傳至子代個體的概率主要由適應度函數決定，然而在多目標優化中，適應度函數的構建比較困難，無法適當地評估每個優化目標，因此NSGA-II 定義了1 種比較運算符，用來對種群中的某2 個隨機選擇的個體進行優劣評估，該運算符與以下2 個參數相關。

（1）無支配前沿分類。

NSGA-II 對整個種群進行排序，以種群中每個個體的無支配程度為評價標準，將擁有相同的無支配性的個體集合在一起成為1 個無支配前沿，從而將種群劃分為多個無支配前沿。

以約束條件式（3）為例，開始時將種群的第1 個卡箍布局解x1放入空集Y中，之后的每個卡箍布局xi都與Y中的每個解進行比較，若xi支配Y中的某一解，則將那個解從Y中移除；若xi被Y中的解支配，則忽略xi；若xi不被Y中的任何1 個解支配，則將xi留在Y中。當種群中所有卡箍布局都進行了比較之后，留在Y中的解即為非支配序號為1 的個體。將序號為1 的解移出種群，繼續上述操作，直到所有卡箍布局都獲得序號，這個序號可以用來初步辨別種群中個體的優劣程度。

（2）密度估計值。

在無支配性排序之后為了讓個體之間的優劣得到進一步區分，NSGA-II 采用的方法是計算出指定的某個個體相鄰的2 個個體目標函數之間的距離，用來判別種群在選定的個體位置附近的密集程度，也稱為擁擠度。在指定個體附近種群的分布越稀疏，則對于種群的多樣性越有利，該方法稱為密度估計法（如圖7 所示），在搜索過程中可兼顧種群的多樣性。

圖7 密度估計值

卡箍布局解i的密度估計值為

式中：P[i+1]·fk為第i+1 個卡箍布局解對應的第k個目標函數值。

每個卡箍布局對應的最終適應度可以由上述2種方法得到的數值相結合而得出，評價準則為：（1）在2 個解處于不同的無支配前沿的情況下，認為無支配程度序號低的卡箍布局解適應度更高；（2）在2 個解處于同一無支配前沿的情況下，認為密度估計值較大的卡箍布局解適應度更高。

6 基于NSGA-II 算法的卡箍布局優化流程

6.1 編碼

遺傳算法首先需要編碼，其意義是將優化問題中的變量參數化，即將卡箍的布局轉化為遺傳算法所能搜索的參數形式，飛機液壓管路系統的優化設計變量卡箍布局的變化具有連續性，所以液壓管路系統卡箍的優化設計采用浮點數編碼方式，卡箍的位置由矩陣來表示，矩陣第1 行表示卡箍的編號，由1～n，之后的幾行分別表示各卡箍需要優化的參數。本次優化只考慮卡箍的布局，所以只對卡箍的布局進行編碼。卡箍的布局用向量L={l1，l2，l3，…，ln}來表述，則卡箍在優化中的編碼為

6.2 初始種群生成

進化操作的第1 步是要生成1 個由若干初始解組成的初始種群，在工程中面對的優化問題大多是擁有復雜結構和多參數的，一般很難對解空間擁有先驗知識，所以初始種群中的個體以隨機方式產生，種群內的個體數需要在計算前設置，設每代的個體數為D，設置D=12。

6.3 適應度評估與選擇

依據第5.2 節對所有初始解進行無支配前沿分類和密度估計值計算。根據求得的非支配序號和密度估計值對解進行篩選，其準則為：（1）在2 個卡箍布局解處于不同的無支配前沿的情況下，選擇無支配序號低的解；（2）在2 個卡箍布局解處于同一無支配前沿的情況下，選擇密度估計值較大的解。被選擇的解會被放入“交配池”。

6.4 交叉操作

NSGA-Ⅱ算法每次從“交配池”中隨機選擇2 個個體，對應不同的2 種卡箍布局S1和S2，采用交叉算子，產生2 個新的子代S1’和S2’。對于第i個變量，其交叉過程如下：

（1）隨機產生1 個數字uc，i∈[0，1]。

（2）通過多項式概率分布計算參數ξi，控制父子2代相接近的概率

式中：非負參數ηc為交叉分布指數，ηc的大小表示子代與父代之間的距離，參數越大表明二者越接近，參數越小表明二者越疏遠。

（3）交叉產生子代的計算式為

6.5 變異操作

NSGA-Ⅱ算法會在某個卡箍布局解S1的臨近位置產生變異后的布局解S2。對于第i個變量其變異的過程如下：

（1）隨機產生1 個數字um，i∈[0，1]。

（2）計算參數δi

（3）變異子代的計算式為

6.6 循環

在經過選擇、交叉、變異的操作之后，形成新一代的12 個卡箍布局解重新進行適應度評估，循環計算直至達到設定的計算代數，本文設置的代數為20。

7 卡箍位置優化設計

根據靈敏度計算結果，選擇出需要進行優化的5 個卡箍位置參數，其取值范圍見表3。

表3 參數取值范圍

優化要求前4 階固有頻率最大限度遠離共振區[80 Hz，130 Hz]，并使隨機激勵下的應力均方根最大值盡可能減小。

采用多目標遺傳算法進行優化計算，設置遺傳代數Q=20，每代的種群數D=12，交叉分布指數ηc=10，變異分布指數ηm=20，優化計算主要流程如圖8 所示[14-15]。

圖8 優化計算主要流程

計算結束后，從最后一代的12 個卡箍布局解中挑選出所有無支配序號為1 的解，并從中選擇密度估計值最大的3 個結果，3 種優化方案與優化前結構固有頻率對比如圖9所示，優化結果見表4。

圖9 優化前、后結構固有頻率對比

從圖中可見，優化后的結構固有頻率都離開了共振區[80 Hz，130 Hz]，實現了頻率調節的目標，可以有效避免結構因發動機工作而引發共振，而且卡箍位置優化后，管路結構的x方向最大應力均方根響應與優化前的34.318 MPa 相比也有不同程度降低（至少降低17.3%）。

表4 優化結果

結合表4、圖9 對3 種優化方案進行進一步對比分析，發現優化1 使得結構的固有頻率最大限度地遠離了共振區，但并沒有最大限度地減小結構的x方向最大應力均方根；優化2 對應最小的應力均方根，但共振頻段偏離程度不如其他2 個優化方案的，可能造成某個頻率的諧響應劣于其他2 個優化方案的；優化3 的頻率調節和減小最大應力均方根的效果介于二者之間。

8 結論

本文對發送機外部3 維復雜管路系統的卡箍布局進行了優化設計，得到如下結論：

（1）對于復雜管路多卡箍優化問題，某些卡箍對結構的動態特性擁有更顯著的影響，在優化計算前進行靈敏度分析可以提高優化設計的效率。

（2）采用的多階固有頻率調節優化適用于任意頻段的外界激勵，可以保證多階固有頻率遠離激勵頻段。

（3）引入轉動角度作為參考變量，將傳統的直管卡箍位置優化擴展到彎管上，實現了發動機曲面上的復雜管路系統的多卡箍位置優化。