大學物理教材中的“差錯圖”在高等數(shù)學教學中的應用

黃品文 蔡亦良 黃世娟

摘要：由于某些視覺或其他特殊原因，部分大學物理教材中的圖片存在著一些可能讓學生產(chǎn)生誤會的“小差錯”，這些“小差錯”為學生學習大學物理課程帶來了一些困擾。作者同時從事大學物理與高等數(shù)學兩門課程教學工作多年，在教學實踐中，發(fā)現(xiàn)這些物理教材圖片“小差錯”可以用于構(gòu)建高等數(shù)學相應章節(jié)的應用題。學生對這類因“差錯”產(chǎn)生的數(shù)學例題興趣濃厚，對相關(guān)知識的學習效果也得到明顯的提高。

關(guān)鍵詞：“差錯圖”、大學物理、高等數(shù)學、常數(shù)變異法、微分在近似計算中的應用

大學物理和高等數(shù)學是工科本科專業(yè)學生必修的兩門非常重要的基礎(chǔ)通識課程。這兩門數(shù)學與自然科學類通識教育課程對培養(yǎng)工科學生基礎(chǔ)的計算、建模、分析、推理能力具有非常重要的意義。這兩門課也關(guān)系到學生科學素養(yǎng)的培養(yǎng)，對大學生畢業(yè)后的職業(yè)深度發(fā)展具有非常重要的作用。事實上，不管從事哪些工程技術(shù)類專業(yè)工作，高等數(shù)學、大學物理所蘊含的數(shù)學建模、計算分析能力都深深影響了相關(guān)工作的深入開展。高等數(shù)學與大學物理兩門課程之間聯(lián)系密切，相互依托，貫通協(xié)調(diào)。其中，高等數(shù)學（上）是大學物理的先修課，缺少一元微積分的知識儲備，大學物理課程第一章質(zhì)點運動學的學習就將處處受限。另一方面，高等數(shù)學課程理論性強，工科學生普遍對其定義、定理的理解、推導、證明缺乏足夠的興趣。相對于定義、定理的推導證明，工科生普遍喜歡應用數(shù)學定理開展直接的運算和應用。由此，高等數(shù)學的教學也大量使用其在物理學上的應用[1]。例如，現(xiàn)在通行的經(jīng)典高等數(shù)學教材都有專門的章節(jié)講解面積分、線積分在計算物體質(zhì)量中心、轉(zhuǎn)動慣量上面的應用等等[2]。

但是，上述高等數(shù)學在大學物理題目中的應用案例非常少，且非常“經(jīng)典”。而且，這些例題已經(jīng)數(shù)十年未發(fā)生變化，顯得不夠“創(chuàng)新”。這可能與高等數(shù)學課程內(nèi)容相對獨立、體系發(fā)展非常完善有關(guān)，也可能與相對“完美”、契合度高的大學物理案例較少有關(guān)。因此，為了豐富高等數(shù)學課程中大學物理題目數(shù)量和新穎性，對傳統(tǒng)大學物理課程和教材的“挖掘”非常重要[3]。在教學工作中發(fā)現(xiàn)，大學物理教材中的一些教學用圖并非百分百合理，容易造成學生的誤會和理解困難。這些圖片對學生理解大學物理知識造成了一些障礙，但是細心發(fā)掘、將錯就錯可以構(gòu)建出適合高等數(shù)學教學的很好的題目。下文以作者挖掘的一道大學物理教材“錯圖”引出的高等數(shù)學題目為例進行說明。

在大學物理《牛頓運動定理》章節(jié)，有這么一道練習題：

“光滑的水平桌面上放置一半徑為R的固定圓環(huán)，物體緊貼環(huán)的內(nèi)側(cè)做圓周運動，其摩擦系數(shù)為μ，開始時物體的運動速率為v0，求：（1）t時刻物體的速率;（2）當物體速率從v0減少到0.5v0時，物體經(jīng)歷的時間和路程。”

該題的題意是讓學生分析水平光滑桌面上運動的物體貼圓環(huán)內(nèi)測做圓周運動。分析清楚題意得同學可以非常快地列出物體在切向方向運動方程，和法向方程，然后根據(jù)摩擦力與正壓力之間的關(guān)系，化簡得出一個可分離變量的常微分方程進行求解。但是，不少教材給該習題配了圖1所示的題圖。嚴格意義上講，圖1可以反映題目中物體的運動狀況，并不能算做差錯圖。但是這是副俯視圖，非常多的同學錯誤地把圓環(huán)看成是豎直放置的，物體緊貼圓環(huán)內(nèi)側(cè)在豎直方向做圓周運動。由此列出了較為復雜的非齊次常微分方程，大部分學生都很難進行解答。這一影響牛頓運動定律相關(guān)知識學習的“差錯圖”，可以構(gòu)建為講解高等數(shù)學中非齊次常微分方程知識的例題，并將題目的“緣起”告訴學生，以激起他們的學習興趣，達到非常好的教學效果。下面是重新構(gòu)建后的高數(shù)例題。

“如圖2所示，豎直放置的一半徑為R的固定圓環(huán)，物體緊貼環(huán)的內(nèi)側(cè)做豎直方向的圓周運動，圓環(huán)與物體之間的摩擦系數(shù)為μ。開始時，物體在圓環(huán)底部，初始的運動速率為v0，求：t時刻物體的速率。

該題的物理背景較濃，在高等數(shù)學課上講授時，作者幫助學生進行了受力分析（如圖2），并列出了動力學方程：

根據(jù)摩擦力與正壓力之間的關(guān)系和變量變換，可以將上述兩個方程轉(zhuǎn)換成：

自此，一道大學物理牛頓運動定律題目的“差錯圖”便轉(zhuǎn)化成了高等數(shù)學中的一階非齊次常微分方程求解的例題。具體上課時，便可以引導學生先求解一階齊次的常微分方程：

再用常數(shù)變異法和初始條件（）完成上述題目的最終求解。

綜上，適當挖掘大學物理教材中的各種元素，特別是教學用圖。利用其中含有的造成誤解的相關(guān)知識，可以構(gòu)建出較為有趣且應用型明顯的高等數(shù)學例題，再輔以題目的“差錯圖”緣起，可以很好地調(diào)度學習高等數(shù)學相關(guān)知識的積極性，從而提高學習效果，收到意想不到的效果。

本文為浙江省水利廳一般科技項目（RC1991）、浙江水利水電學院校級課程思政教學改革項目的研究成果。

參考文獻：

[1] 鄧文武，大學物理學與高等數(shù)學的銜接研究[J]，教育現(xiàn)代化，2019年第6期.

[2] 同濟大學數(shù)學系，高等數(shù)學[M]，高等教育出版社，2014年第七版.

[3] 吳王杰，楊軍，融合教學案例建設(shè)一流大學物理教材[J]，中國大學教學，2020年第6期.

[4] 陳慶東，鞏曉陽，大學物理實驗教程[M]，機械工業(yè)出版社，2013年第2版.