圓與橢圓兩個幾何性質的類比
——橢圓中兩直線斜率乘積為定值的應用

◇ 江蘇 陳偉斌 張啟兆

圖1

因此,可以把圓看成是橢圓的一種特殊情形,將圓的某些重要的性質推廣到橢圓中仍然有類似的結論.積累這些基本經驗,有利于提升數學解題思維.本文通過類比圓的重要性質,探究出橢圓的兩個重要結論,希望對讀者有所幫助.

如圖2-甲所示,若A,B是橢圓C上的兩點,則線段AB稱為橢圓C的弦;如圖2-乙所示,當AB過橢圓的中心時,稱線段AB為橢圓的直徑.

圖2

圓的性質1直徑所對的圓周角是直角.如圖3所示,AB是圓O的直徑,P是圓O上一點,則∠APB＝90°.從解析幾何的角度看,當直線PA,PB的斜率都存在時,kPA·kPB＝－1.

結論1如圖4所示,在橢中,AB是橢圓的任意一條直徑,點Q在橢圓上運動,當直線AQ,BQ的斜率都存在時,

圖3

圖4

證明設Q(x1,y1),B(x2,y2),則A(－x2,－y2),得所以

圓的性質2垂徑定理:平分弦(非直徑)的直徑垂直于弦.如圖5所示,圓O中若M是弦AB(AB不是直徑)的中點,則OM⊥AB.從解析幾何的角度看,當直線AB,OM的斜率都存在時,kAB·kOM＝－1.

圖5

結論2如圖6所示,在橢圓中,AB是橢圓的任意一條弦(不是直徑),M是弦AB的中點,當直線AB,OM的斜率都存在時,.

圖6

證明設A(x1,y1),B(x2,y2),則

掌握這兩個結論,摸清題目的背景,解題時就能快速找準方向,從而事半功倍.

例1(1)在橢圓中,A,B是橢圓的上、下頂點,P是橢圓上一點,若已知直線PA斜率為1,則直線PB的方程為________.

(3)在橢圓4x2＋3y2＝12中,已知M(1,1)是弦AB的中點,則弦AB所在的直線方程為________.

分析直接利用結論1和2求解.

解(1)如圖7所示,由結論1可知,kPA·kPB＝因為kPA＝1,所以,且知點,所以直線PB的方程為.

(2)如圖8所示,由結論1可知,kPA·kPB＝因為kPA＝1,所以,且知點B(2,0),所以直線PB的方程為,即3x＋4y－6＝0.

圖7

圖8

圖9

點評

結論1和結論2溝通了橢圓中一些直線的斜率之間的關系.在解答題中結論要先證明再使用,填空題使用時要注意橢圓焦點在哪個軸上.

例2橢圓中,過原點的直線交橢圓于P,A兩點,其中P在第一象限.過P作x軸的垂線,垂足為C,連接AC,并延長AC交橢圓于B.設直線PA的斜率為k.求證:對任意k＞0,PA⊥PB.

分析要證PA⊥PB,只要證kAP·kPB＝－1.因為即2kAB·kPB＝－1,故只要證明kAP＝2kAB即可.

證明如圖10所示,設P(x1,y1),B(x2,y2),則A(－x1,－y1),C(x1,0),得

所以kAP＝2kAB.且知

所以kAP·kPB＝2kAB·kPB＝－1,所以PA⊥PB.

圖10

點評

利用橢圓中兩個斜率之積為定值的結論,可以優化解題思路.

例3已知橢圓的左頂點為A,過原點O的直線交橢圓C于P,Q兩點,直線AP,AQ分別交y軸于M,N兩點.以線段MN為直徑的圓是否經過定點?若過定點,求出定點的坐標;若不過定點,請說明理由.

分析由結論1可知設kAP＝k,則,分別寫出直線AP,AQ的方程,從而求出點M,N的坐標,進而求出以線段MN為直徑的圓的方程,即可求出定點的坐標.

解以MN為直徑的圓過定點F(±,0).如圖11所示,設P(x0,y0),則Q(－x0,－y0),且 知

圖11

因為A(－2,0),所以

設kAP＝k,則,所以直線PA的方程為y＝k(x＋2),所以M(0,2k),直線QA的方程為以MN為直徑的圓為,即x2＋

點評

本題也可以設P(x0,y0),則Q(－x0,,然后求出直線PA,QA的方程,再求出以MN為直徑的圓的方程,令y＝0,使問題得證.

小試牛刀已知橢圓的右焦點為F(3,0),過點F的直線交橢圓于A,B兩點.若AB的中點坐標為(1,－1),則E的方程為( ).

解法1如圖12所示,設AB的中點為M,則M(1,－1),因為F(3,0),所以kAB＝kFM＝.由結論2知,即a2＝2b2,又因為c2＝a2－b2＝9,解得a2＝18,b2＝9,故選D.

解法2設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1＋x2＝2,y1＋y2＝－2,

圖12