淺析平面向量在解題中的應用

◇ 北京 張 輝

求解向量問題最基本的思想是基底思想,將所求向量用恰當的基底向量表示,就可以通過基底向量的運算求解;建立恰當的平面直角坐標系,又可以將向量用坐標來表示,通過坐標運算來求解,將向量的運算轉化為坐標運算也是解決較難向量問題的通法.本文通過幾個典型例子,談談這兩種重要方法在解題中的應用.

例1如圖1,在矩形ABCD中,點E為BC的中點,點F在邊CD上,若的值是( ).

圖1

解法1利用基底的思想,將用基底向量表示.

故選C.

解法2建立平面直角坐標系,將問題轉化為向量的坐標運算.

以A為坐標原點,AB,AD所在直線為x軸和y軸建立平面直角坐標系(如圖2),則.

圖2

點評

例1用兩種方法解決了向量數量積的問題,基底法要注意通常選擇向量夾角已知、模已知的兩個向量作為基底;當所給圖形便于建系時,可以采用坐標法使得問題迎刃而解.

圖3

例2給定兩個平面單位向量,它們的夾角為60°.如圖3所示,點C在以O為圓心的圓弧上變動.若,其中x,y∈R,則x＋y的最大值是________.

解法1利用基底的思想夾角、長度已知,所以作為基底的條件是具備的.平方后可以將向量轉化為模,再利用不等式的性質求解.

解法2建立平面直角坐標系,將問題轉化為向量的坐標運算.

以O為坐標原點,OA所在直線為x軸建立平面直角坐標系(如圖4),則

圖4

解法3由分析2中式①得

點評

例2中的解法1是利用基底的思想加以解決,用到了處理向量問題時常用的“見模平方向量”方法;解法2、解法3利用了坐標法,最終將求x＋y的最大值問題利用基本不等式加以解決或是引入角參數減少變量加以處理.建立平面直角坐標系后就可以將向量問題代數化,使問題解決相對會容易.

例3已知O為△ABC外接圓的圓心,外接圓的半徑為1,且,若∠ABC＝60°,則λ＋μ的最大值為________.

解析

這道題的元素比較多,題目條件中給出了一個向量表達式,可以通過建立平面直角坐標系,將含向量的方程轉化為代數方程,進而求解.

以O為坐標原點,建立平面直角坐標系,如圖5所示,因為∠ABC＝60°,所以∠AOC＝120°.設B(x,y),則

圖5

因為點B在圓x2＋y2＝1上,所以化簡得λμ＝,因為點B在優弧上,所以時,取得等號).

點評

例3是用坐標法進行求解,利用點(x,y)的坐標在圓上構建含有λ,μ的式子,再通過基本不等式將問題解決.向量的坐標聯系了向量與其他知識,可以借助其他知識處理問題的方法來解決向量問題,其中體現了轉化與化歸思想.

例4在△ABC中,AB＝2,AC＝3.若AE是△ABC的內角平分線,求AE的取值范圍.

解析

此題是解三角形問題,根據向量的基底思想,用向量的方法加以處理,也會發現別有洞天(此處略去應用幾何法以及應用正、余弦定理解決該題的方法).

依題分析,AE平分∠BAC,作菱形AFGC,使得AF＝AC＝3(如圖6),則所以

圖6

點評

這道題用向量的方法巧妙地加以解決,比用幾何法添加輔助線更容易上手,向量法解決幾何問題的優勢也就體現出來了.也可以將向量法與平面幾何知識結合,利用三點共線時,向量的特點來處理.如圖7所示,以AE為角平分線作平行四邊形AMEN,設,因為B,E,C三點共線,所以

因為AE是∠BAC的角平分線,則|AM|＝|AN|,所以,所以

圖7

總之,向量是聯系幾何與代數的橋梁,向量有自己獨特的處理問題的方式,蘊含著重要的思想,它又與其他知識有著密切的聯系,用它解決平面幾何、解三角形等問題會很簡捷.通過坐標轉化可以將向量問題變為代數問題,從而將向量問題很好地解決.

鏈接練習

1.A,B,C是圓 上不同的三點,線段CO與線段AB交于點D(點O與點D不重合),若R),則λ＋μ的取值范圍是________.

3.已知菱形ABCD的邊長為2,∠ABC＝60°,點E,F分別在邊AB,DC上,則.

圖8

鏈接練習參考答案