談談立體幾何位置關系證明問題中的通性通法

◇ 廣東 孫仕兵

立體幾何位置關系的證明是高考必考的考點,主要是“空間平行問題”和“空間垂直問題”的證明,而且這部分證明問題有時不能用空間向量來求解(因為能建系的條件一般都是為了求空間角附加的),即使能用空間向量求解,也需要進行邏輯推理.這樣設置問題的目的是很明確的,即通過傳統方法證明位置關系來考查相應知識點的掌握情況和直觀想象、邏輯推理等數學核心素養.下面主要從通性通法的宏觀和微觀層面分析兩種位置關系的證明.

1 從通性通法的宏觀層面分析

通常從宏觀上看,求解方法包括空間問題平面化和平面問題空間化.具體地說是兩個框圖(如圖1).

圖1

以“空間平行問題”為例,空間平行問題體現的是“直線與直線平行”“直線與平面平行”“平面與平面平行”三者之間相互轉化,轉化的依據就是相關的“判定定理”“性質定理”及“性質”,核心思想是“轉化思想”.同時需要明確的是每類位置關系的判定中,重點是“直線與平面平行”和“直線與平面垂直”.下面從微觀層面,僅以“空間平行問題”為例進行歸納和舉例分析.

2 從通性通法的微觀層面分析

2.1 直線與直線平行

2.2 直線與平面平行

2.3 平面與平面平行

3 應用舉例

例1已知:a∥α,a∥β,α∩β＝b.求證:a∥b.

圖2

分析要證明a∥b,只需在兩個平面中選擇一個平面,作直線c,使得a∥c,且c∥b.

根據a∥α,先作平面γ,使γ∩α＝c,進而得a∥c,下面關鍵在于如何證明c∥b,由已知及直線與平面平行的性質定理易知,只需證明c∥β,這樣在平面β內必須找出一條直線d,使得c∥d,余下的就是如何作直線d了,由a∥β易知,經過直線a作平面φ,使得φ∩β＝d即可.

證明如圖3,過直線a作平面γ和平面φ,使得γ∩α＝c,φ∩β＝d.

圖3

從通性通法的角度講,解答例1的關鍵因素是為了尋求“平行”,作了兩條“交線”,即將平行相關的定理和性質融合在一起運用.空間平行問題,雖然分成三類,即直線與直線平行、直線與平面平行和平面與平面平行,但這三類不是孤立存在于解決問題的過程中,不難看出,在立體幾何中證明直線與直線平行,除了“平行公理”,其他的轉化依據都是直線與平面平行、直線與平面垂直及平面與平面平行的性質定理.還需要強調的是任何數學證明問題,從通性通法的角度看,解題的關鍵是從“結論”切入,然后按邏輯逐步進行分析,這樣才能明確“為什么這么證明”,這種習慣的養成對核心素養中“邏輯推理”水平的提升起著至關重要的作用.

與空間平行有關問題的證明中,難點是運用“直線與平面平行的判定定理”來證明直線與平面平行.因為要證明直線與平面平行,只需證明平面外的直線a與平面內的直線b平行,但問題中,往往并沒有直接給出直線b,所以需要我們去作這條直線.

例2如圖4所示,S是平行四邊形ABCD平面外一點,M,N分別是SA,BD上的點,且求證:MN∥平面SDC.

圖4

分析要證明MN∥平面SDC,只需證明直線MN與平面SDC內一條直線平行,從已知圖形中可以發現直線MN所在的平面AMN與平面SDC有一個公共點S,同時不難發現在平面AMN內還有一條直線AN與平面SDC有公共點,也就是連接AN并延長,交DC于T,再連接ST,則直線ST就是我們要作的“交線”!余下的就是要考慮如何證明直線MN平行于直線ST.通過已知條件中的比例線段,易推出兩直線平行,證明部分略.

例3(2019年全國卷Ⅰ理18,節選)如圖5所示,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1＝4,AB＝2,∠BAD＝60°,E,M,N 分別是BC,BB1,A1D的中點.證明:MN∥平面C1DE.

圖5

分析要證明MN∥平面C1DE,只需證明直線MN與平面C1DE內的一條直線平行,因為直線MN所在的平面A1MN與平面C1DE有公共點D,所以考慮延長A1M,看看是否能找到直線A1M與平面C1DE的公共點,即兩個平面的另一個公共點.延長A1M交AB的延長線于點P,根據已知中的條件“E,M,N分別是BC,BB1,A1D的中點”,不難推出D,E,P三點共線,進而得出我們要作的交線就是直線DP(如圖6).但仔細觀察圖形不難發現,圖中的直線DE就是直線DP,進而我們發現了直線DE就是交線,但不作輔助線能否發現“直線DE就是交線”呢?其實發現的難度比較大(也可以說是思路的形成過程不是那么自然),因為只有發現了D,E,M,N四點共面才能確定直線DE就是我們要找的“交線”,只有連接了ME及B1C,再通過平行轉化才能發現.所以這道題目中輔助線的作法,可以按如下方式去體現思維形成過程.

圖6

按延長A1M方式作輔助線,很自然,應該提倡,但證明過程略有難度,因為要證“三點共線”,按“連接”方式作輔助線,雖然圖形更加簡潔,證明難度小,但分析思路有難度(較難發現DE就是我們要找的“交線”).鑒于以上兩種方法的各自優點和缺點,還是提倡在演算紙上,先用第一種方式作完輔助線,在思考后才有可能發現第二種作法更簡捷,進而正式答卷時用第二種輔助線的作法.

通過以上例題不難發現,立體幾何中位置關系證明的難點是用判定定理證明“直線與平面平行”,因為在運用定理過程中,平面內的直線是隱藏著的,所以需要我們通過觀察、分析挖掘這個隱藏著的直線.突破這個難點的通性通法就是“作交線”或“找交線”.

“提倡運用通性通法,建議淡化特技”是歷年高考備考中反復倡導的理念,研究歷年的高考真題也不難發現高考命題也是按照這種理念來命題的,所以在高考備考中,同樣要注重運用“通性通法”解決問題,只有這樣才能提高備考的質量,也符合目前的高考要求(即重點考查數學核心素養),從而避免陷入題海的深淵.