都是雙桿惹的禍
——電磁感應雙桿切割模型探秘

◇ 云南 蔣金團

電磁感應現象中的“桿＋導軌”模型是高考中常考不衰的經典模型.從力的角度講,模型中涉及的安培力動態變化,能較好地考查學生應用牛頓運動定律解決力學問題的能力;從能的角度講,感應電流的產生必然涉及電能和其他形式能之間的轉化,能較好地考查學生的能量觀念;從電學的角度講,感應電荷量和電功率的計算,能較好地考查學生應用法拉第電磁感應定律、閉合電路歐姆定律、串并聯電路特點等知識綜合處理電學問題的能力;從動量的角度講,安培力沖量的計算,能加深學生對“力對時間的累積效應”的本質認識.“桿＋導軌”模型涉及如此龐大的體系,使得學生處理這類問題時往往有“心有余而力不足”的感慨,若試題以“單桿切割”的形式呈現,學生尚能勉強應對,但若以“雙桿切割”的形式呈現,很多學生根本理不清兩桿之間的關聯,出現無從下手的尷尬局面.經常聽到學生說這樣一句話:這次物理沒考好,就是因為雙桿切割那道題浪費了時間.“雙桿”惹的禍,有沒有解決之道?當然有!事實上,無論是“單桿切割”模型還是“雙桿切割”模型,只要抓住感應電流的收尾狀態,這些問題都能迎刃而解.

1 雙桿運動模型

如圖1所示,空間中有方向豎直向下、磁感應強度大小為B的勻強磁場,磁場中有兩根位于同一水平面內且足夠長的平行金屬導軌,導軌的寬度為L;兩根質量均為m、內阻均為r的光滑導體棒ab、cd靜止在導軌上,棒與導軌接觸良好,t＝0時,ab棒以初速度v0向右滑動,請分析兩棒的收尾速度、閉合回路中的收尾電流、閉合回路中的感應電荷量及兩棒之間的相對位移.

1)兩棒的收尾速度

兩棒之間發生相對運動后,閉合回路中產生了感應電流,由楞次定律可知,感應電流的方向為逆時針方向(俯視圖),再由左手定則可知,ab棒受到水平向左的安培力,cd棒受到水平向右的安培力,ab棒做減速運動,cd棒做加速運動;根據牛頓第二定律,兩棒的加速度大小為由于相對速度v相越來越小,加速度的大小逐漸減小,當兩棒共速時,相對速度為零,加速度也為零,此后兩棒以相同的速度一起做勻速直線運動,兩棒的v-t圖象如圖2所示.

圖1

再以兩棒組成的整體作為研究對象,整體所受的合外力為零,由動量守恒定律得mv0＝2mv共,解得兩棒的收尾速度均為.

圖2

2)收尾電流

設ab棒的瞬時速度為v1,cd棒的瞬時速度為v2,由右手定則可知兩棒產生的感應電動勢方向相反,所以回路中的感應電流為I＝,由于相對速度v相越來越小,感應電流也越來越小,最終趨于零.感應電流隨時間變化的I-t圖象如圖3所示.

圖3

3)感應電荷量

設ab棒開始運動到兩棒速度恒定,流過導體棒的感應電荷量為q,則有,以cd棒作為研究對象,由動量定理得,解得感應電荷量為

4)相對位移

設ab棒開始運動到兩棒速度恒定,兩棒間的相對位移為Δx,由法拉第電磁感應定律可以得出,電流平均值為感應電荷量為q＝,聯立兩式解得

例1(多選)如圖4所示,在方向豎直向下、磁感應強度大小為B的勻強磁場中,有兩根位于同一水平面內且間距為L的平行金屬導軌(導軌足夠長);兩根質量均為m、內阻均為r的光滑導體棒ab、cd靜止在導軌上(導體棒與金屬導軌接觸良好),t＝0時,ab棒以初速度3v0向右滑動,cd棒以初速度v0向左滑動,關于兩棒的運動情況,下列說法正確的是( ).

圖4

A.當其中某根棒的速度為零時,另一根棒的速度大小為2v0

C.ab棒的收尾速度大小為v0

D.cd棒的收尾速度大小為2v0

解析

點評

本題主要從力學的角度來設置選項,若從動量和能量的角度來設置選項,我們還可以探究兩棒從開始運動到共速的過程中各自產生的焦耳熱及流過導體棒橫截面的感應電荷量.

例2(多選)如圖5所示,光滑導軌由寬度分別為2L、L的兩部分組成,其中水平導軌部分置于方向豎直向上的勻強磁場中,弧形導軌部分置于勻強磁場之外.現將導體棒ab置于導軌的右側,再將導體棒cd從弧形軌道中高度為h的位置由靜止釋放,已知勻強磁場磁感應強度的大小為B,兩導體棒的質量均為m,兩導體棒的內阻均為r,兩導體棒與導軌均接觸良好,重力加速度為g,若閉合回路中的電流為零時,導體棒cd依然處于寬度為2L的區域,導軌電阻不計,下列說法正確的是( ).

圖5

A.導體棒cd剛進入磁場時的速度為 2gh

D.從導體棒cd開始進入磁場到閉合回路中的電流為零的過程中,導體棒ab產生的焦耳熱為

解析

點評

2 雙桿受力模型

如圖6所示,空間中有方向豎直向下、磁感應強度大小為B的勻強磁場,磁場中有兩根位于同一水平面內且足夠長的平行金屬導軌,導軌的寬度為L;兩根質量均為m、內阻均為r的光滑導體棒ab、cd靜止在導軌上,棒與導軌接觸良好,t＝0時,對導體棒ab施加向右的水平恒力F,請分析兩根導體棒的運動情況及回路中的收尾電流.

圖6

1)收尾電流的分析.設ab棒的瞬時速度為v1,cd棒的瞬時速度為v2,則回路中的感應電流為I＝.根據楞次定律,感應電流最終趨于穩定,因此收尾電流值要么為零,要么為非零常數.在此模型中,若收尾電流值為零,則導體棒ab將做勻加速直線運動,導體棒cd將做勻速直線運動,回路中將再次產生感應電流,這就與“收尾電流值為零”產生矛盾,因此本模型的收尾電流值為非零常數.當電流為恒定值時,有,即收尾條件為a1＝a2＝a.將兩根棒看成一個整體,由牛頓第二定律得以導體棒cd作為研究對象,有BIL＝ma,聯立各式解得收尾電流為

2)兩根導體棒的v-t圖象(如圖7所示).

圖7

例3(多選)如圖8所示,U形光滑金屬框abcd置于水平絕緣平臺上,ab邊和dc邊平行,且與bc邊垂直.ab、dc足夠長,整個金屬框電阻可忽略.一根具有一定電阻的導體棒MN置于金屬框上,用水平恒力F向右拉動金屬框,運動過程中,裝置始終處于豎直向下的勻強磁場中,MN與金屬框保持良好接觸,且與bc邊保持平行.經過一段時間后( ).

圖8

A.金屬框的速度大小趨于恒定值

B.金屬框的加速度大小趨于恒定值

C.導體棒所受安培力的大小趨于恒定值

D.導體棒到金屬框bc邊的距離趨于恒定值

解析

當bc邊切割磁感線時產生感應電流,使得導體棒MN受到向右的安培力,做加速運動,bc邊受到向左的安培力,向右做加速運動.當MN運動以后,設bc邊和導體棒MN的瞬時速度分別為v1、v2,感應電流為,金屬框和導體棒MN受到的安培力大小均為以導體棒 MN 為研究對象,有m2a2;以金屬框為研究對象,有m1a1,兩棒初速度均為零,則a2從零開始逐漸增大,開始逐漸減小.當a1＝a2時,相對速度v1－大小恒定.綜上所述,金屬框的加速度趨于恒定值,安培力也趨于恒定值,選項B、C正確.金屬框的速度會一直增大,導體棒到金屬框bc邊的距離也會一直增大,選項A、D錯誤.故選B、C.

點評

本題是等長雙桿受力模型,收尾狀態為a1＝a2;若題目改為非等長雙桿受力模型,感應電流為,電流恒定時有

此時收尾狀態為L1a1＝L2a2.

例4(原創)如圖9-甲所示,兩根足夠長、電阻不計且相距L＝1m的平行金屬導軌固定在傾角為θ＝37°的絕緣斜面上,兩導軌間有一磁感應強度大小B＝1T、方向垂直斜面向上的勻強磁場,現將兩根質量均為m＝1kg、電阻均為R＝1Ω、長度均為L＝1 m的金屬棒放置在導軌頂端附近,金屬棒與導軌接觸良好,金屬棒ab與導軌間的摩擦忽略不計,金屬棒cd與導軌間的動摩擦因數為μ＝0.75.t＝0時,將金屬棒ab由靜止釋放,此時金屬棒cd鎖定在斜面上;t＝t1時,將金屬棒cd由靜止釋放,金屬棒中的電流隨時間變化的關系如圖乙所示,g取10m·s－2,sin37°＝0.6,cos37°＝0.8.

圖9

(1)t＝t1時,求金屬棒ab的加速度a1及金屬棒cd的加速度a2.

(2)若在0～t1時間內,金屬棒ab沿著斜面下滑的距離為x1＝0.5m,求這段時間內金屬棒ab產生的焦耳熱Q.

(3)若t＝t2時,金屬棒ab的速度為v2＝9m·s－1,求t＝t2＋1s時,金屬棒cd的速度v.

解析

(1)由牛頓第二定律得

聯立各式解得a1＝5.5m·s－2,a2＝0.5m·s－2.

(2)t＝t1時,設金屬棒ab的速度為v1,則有

由能量守恒定律得

聯立各式解得Q＝1.25J.

(3)t＝t2時,設金屬棒cd的速度為v′2,則有

當金屬棒中的電流穩定時,兩根金屬棒以相同的加速度一起做勻加速直線運動,對于整體,由牛頓第二定律得

對于金屬棒cd,由牛頓第二定律得

由勻變速直線運動規律得v＝v′2＋a·1s＝6m·s－1.

解答電磁感應力電綜合問題,可按如下步驟進行分析:

(1)找出等效電源,電磁感應中產生感應電動勢的那部分導體相當于電源;

(2)分析電路結構,利用閉合電路歐姆定律計算回路中的電流;

(3)對導體棒進行受力分析,尤其注意安培力的動態變化情況;

(4)找出收尾狀態,收尾狀態的分析往往是解決這類問題的突破口;

(5)分析能量的轉化情況,進而算出各部分產生的焦耳熱.

綜上所述,在雙桿切割模型中,找準感應電流的收尾值是解決問題的關鍵,若電流收尾值為零,利用收尾狀態能找出兩棒間的速度關系;若電流收尾值為非零常數,利用收尾狀態能找出兩棒間的加速度關系,再結合牛頓運動定律、動量定理和能量守恒定律,這類問題便可迎刃而解.