淺談與球有關的難點問題突破

◇ 吉林 齊威娜

在高中教材中,與球有關的知識點不多,僅涉及球的性質、表面積公式及體積公式,但在高考和競賽中出現的球的問題都比較難,其主要原因是條件隱蔽、綜合性強,對考生空間想象能力的要求較高.下面僅從三個角度,談談如何突破其難點.

1 從局部看整體

例1若三棱錐S-ABC的外接球半徑為R,且其三條側棱SA,SB,SC兩兩垂直,則SA2＋SB2＋SC2＝________.

分析觀察其解題目標SA2＋SB2＋SC2的結構特點,即由“三條側棱的平方和”可以聯想到以三條側棱為棱長的長方體的對角線的平方,而已知這三條側棱兩兩垂直,進而可從“側棱兩兩垂直的三棱錐”為長方體的局部看到其整體,難點得到突破.答案為4R2.

圖1

由于解題目標的特殊性,本題突破難點的方式有些特別,更具一般性的突破方式是從“三條側棱兩兩垂直”切入,聯想到相應的長方體.比如,“已知一個三棱錐的三條側棱兩兩垂直,且側棱長為1,2,3,求其外接球半徑”,這種問題只能從“側棱兩兩垂直”聯想到相應的長方體.對這種信息特征反應的敏感度來自日常積累的“基本活動經驗”.當然,我們也可以說是先研究一個長方體,從中截取如圖1的局部幾何體,會得到側棱兩兩垂直的三棱錐.進而可以得到另一種“基本活動經驗”,即看到“側棱兩兩垂直的三棱錐的外接球問題,就聯想到把它恢復為長方體以后的外接球問題”.

例2在四面體ABCD中,已知AB＝CD＝,AC＝BD＝2,AD＝BC＝3,則這個四面體的外接球表面積為________.

圖2

分析根據例1提到的通過觀察長方體的局部得到一種“基本活動經驗”,即“長方體兩個相對的面中,各找一條對角線,使之互相異面(比如AC與BD),就可以以它們的四個端點為頂點構成‘對棱分別相等的’四面體ABCD”,也就是看到對棱分別相等的四面體外接球問題時,我們會聯想到與之相關的長方體的外接球,進而難點得到突破的.這種難點突破途徑是依據“基本活動經驗”,那么如何從四面體切入尋求難點突破的方式呢?根據四面體的“對棱分別相等”這個條件,我們可以進行“補形”的過程(如圖3),同樣可以把“局部”(四面體)轉化為“整體”(長方體).根據AC＝BD＝2,取兩條棱的中點,作對棱的平行線,就可以構成如圖3所示的兩個矩形(所在的兩個平面平行),然后得到的兩個矩形的八個頂點,這就形成我們要得到的長方體,但這種思維方式比起前面提到的方法更難一些.

圖3

解設長方體的長、寬、高分別為x,y,z,則根據題設,可得如下的三個等式:22,x2＋z2＝32,三個等式相加得x2＋y2＋z2＝10,所以此四面體的外接球表面積為10π.

2 從整體看局部

在上文中,已經展示了“從整體看局部”突破難點的方法,其原因是“割補思想方法”中,“割”與“補”是互逆的思維方式,自然就可以從“分析”和“綜合”兩種突破難點的方式解決與球相關的問題.但除此之外,關于球的另外一些組合體問題也需要研究突破難點的方法.這類問題的難點就是問題中不提供圖形,即使提供圖形,也很難從原圖中直接找出突破難點的方法,所以需要依靠空間想象發現球的組合體的本質特征,再通過畫出能解決問題的局部圖形來突破難點.

例3側棱長為3,底面邊長為2的正三棱錐的外接球半徑R＝________,其內切球半徑r＝________.

分析圖4中的幾何體是求外接球半徑的局部圖形,從中又可以簡化出右側的平面圖形,其中AB是其外接球的直徑,O是球心,E底面的中心,易知AC⊥BC,CE⊥AB,進而得出CE2＝AE·EB,其中解得R＝.

圖4

由于有前面的鋪墊,求內切球半徑可以用“等體積法”去求得.

下面再通過轉化為“等效局部圖形”的方法求其內切球半徑.從圖5右側的平面圖形中,不難看出點E,H是球的切點,P是內切球的球心,通過相似三角形的性質,可得,解得

圖5

對于解決正三棱錐的外接球、內切球半徑問題,體現了“空間問題平面化”的立體幾何中的轉化思想,這種轉化也起到了突破難點的作用.但正四面體作為特殊的正三棱錐,我們要掌握其性質,這樣在解決有關正四面體的問題時,就可以不用作出幾何圖形了.

比如,正四面體的外接球和內切球的球心是重合的,同時球心將高四等分,其中外接球半徑為高的內切球半徑為高的,且棱長為a的正四面體的高為

例4將6個半徑為r的球中的5個球放入由一個半徑大于2r的球面和這個球的內接正四面體的四個面分割成的五個空間內,且此正四面體的棱長為,另一個球放入棱長為x的正八面體內,當r取得最大值時,x的最小值為________.

分析此題考查正四面體、正八面體和球的性質以及空間想象能力和轉化思想.

根據題設可知,當小球的半徑r取得最大值時,恰好一個小球為正四面體的內切球,其他四個小球中每個小球分別切于球面和正四面體底面中心,同時x最小時,這個小球恰好是正八面體的內切球.

根據正四面體的性質(中心將高四等分,其中內切球半徑為高的),所以r取得最大值時

如圖6所示,在正八面體中的Rt△AOB中,根據直角三角形中的等面積法可以得到OH·AB＝OA·OB,即,解得x＝,所以x的最小值為.

圖6

由于題設中給出取得最值時,第一個圖形是五個球與正四面體的組合體,其等效簡圖也比較難畫,所以只能根據正四面體的性質,依靠空間想象求出r的最大值.而含內切球的正八面體的整體圖形比較難畫,所以只需要繪制其簡圖.

3 從局部看整體和再從整體看另一種局部

求外接球球心的位置,需要將多面體轉化為能容易判斷其外接球球心位置的幾何體,再把這個幾何體轉化為能解決問題的等效的簡易圖形.

例5在三棱錐S-ABC中,SA⊥平面ABC,若SA＝AB＝AC＝2,BC＝23,則此三棱錐的外接球半徑R＝________.

分析根據已知條件,可以判斷這個三棱錐的底面是鈍角三角形,所以不能轉化為長方體的外接球問題,但三棱錐側棱垂直于底面,所以可以“補”為直三棱柱的外接球問題,但這個三棱柱的底面是鈍角三角形,球心在棱柱外部,進而再把柱體轉化為平面圖形.

圖7

圖7中P,Q分別為三棱柱上、下底面的外接圓的圓心,O為外接球的球心,根據已知條件及余弦定理和正弦定理知解得AQ＝2,所以

通過這個例題可以發現,關于四面體的外接球問題,從更具一般性的角度去分析,突破難點的方式就是將問題轉化為棱柱的外接球問題.

以上三種突破難點的方法,本質上是兩種,第三種屬于前兩種的融合,不管用哪種方法突破難點,我們最后突破難點的結果是明確了球心的位置.需要強調的是以上三種突破難點的方式體現了立體幾何中重要的一種數學思想和方法,即“割補法”,也體現了數學核心素養中的“直觀想象”和“邏輯推理”及四基“基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗”.