“模型”在立體幾何試題中的應用剖析

◇ 江西 章建榮 龍光鵬

立體幾何試題在高考中旨在考查學生直觀想象和邏輯推理素養.立體幾何中有許多幾何模型,其中長方體模型是學生認識空間點、線、面位置關系的最佳模型,所以高考試題的命制中越來越關注長方體模型.立體幾何中學生易掌握的簡單幾何體是長方體,其幾何性質和直觀的幾何結構學生更容易掌握和理解,并且在長方體中添加輔助線,可以構建各種線線關系、線面關系、面面關系,所以在遇到點、線、面的問題時,應該巧妙合理地構造出長方體模型或截面模型加以解決,使得復雜的問題變得更易理解.

1 典例剖析

例1(2019年全國卷Ⅲ理8)如圖1,點N為正方形ABCD的中心,△ECD為正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是線段ED的中點,則( ).

A.BM＝EN,且直線BM,EN是相交直線

B.BM≠EN,且直線BM,EN是相交直線

C.BM＝EN,且直線BM,EN是異面直線

D.BM≠EN,且直線BM,EN是異面直線

分析本題主要考查空間直線的位置關系,既有定性分析,又有定量研究.

圖1

解如圖2,根據題干信息建立長方體模型.由長方體模型易知M,N分別是ED,BD的中點,則MN∥EB,又知M,N,B,E四點共面,所以可以準確判斷出直線BM,EN是相交直線,且BM≠EN.故選B.

圖2

點評

借助長方體模型,易知MN∥EB,則四邊形MNBE為梯形,同時,結合四邊形ABCD為正方形,△ECD為等邊三角形,則BD＝ 2DE,故梯形MNBE不是等腰梯形,再進行幾何圖形的定性分析與研究.依托長方體模型,采用降維的方式,將立體幾何中的問題轉化為平面問題,再分析問題、解決問題.結合梯形MNBE不是等腰梯形,所以BM≠EN.進一步將問題轉化為定量研究.

例2(2018年全國卷Ⅰ理12)已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面α所成的角相等,則α截此正方體所得截面面積的最大值為( ).

分析本題主要考查動態截面的最值、面面平行的性質定理、線面角等知識,考查了學生的空間想象能力和轉化與化歸思想,同時,旨在考查學生的直觀想象和數學運算素養.

解法1如圖3所示,每條棱所在直線與平面α所成的角相等時,平面α與體對角線垂直,則當截面為六邊形時,面積會比截面為三角形時的面積大.

圖3

探究當截面為六邊形時截面的面積S,設ED＝a,則可以分別求出各邊長(如圖4),所以

故選A.

圖4

解法2易知,當截面為正六邊形時,截面面積最大,如圖5所示.所以故選A.

點評

求解立體幾何問題時,直觀想象素養是不可或缺.但學生觀察幾何圖形的時候,往往缺乏對幾何圖形的直觀感知,導致解題產生困惑.若學生能夠較好地理解當截面為正六邊形的時候,截面面積最大,問題就容易獲解了.

圖5

例3設點P是棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1對角線BD1的中點,平面α過點P,且與直線BD1垂直,則平面α與正方體ABCDA1B1C1D1的表面的交線長為________.

分析本題主要考查截面的周長、線面垂直的性質定理,考查了學生的空間想象能力,同時,旨在考查學生的直觀想象和數學運算素養.

解如圖6所示,將立體問題平面化,得到如圖7的平面圖形.設∠DBD1＝θ,則,所以,因為,所以即E為BD的四等分點,所以截面為正六邊形,其周長為.

圖6

圖7

點評

解題時,要重視對文字語言、圖形語言和符號語言的理解,故教學中,教師應注意引導學生結合長方體模型,學會將文字語言轉化為圖形語言和符號語言,使學生準確地使用數學語言表述幾何對象的位置關系.同時,在教學中要利用類比、聯想等方法,辨別平面圖形和立體圖形的異同,理解兩者的內在關系,并逐漸感悟到要將空間問題轉化為平面問題,這是處理立體幾何問題的重要思想.

例4如圖8所示,在四面體ABCD中,AB＝CD＝2,AC＝BD＝,AD＝BC＝,E,F分別為AD,BC的中點.若用一個與直線EF垂直,且與四面體的每個面都相交的平面α去截該四面體,由此得到的一個多邊形截面,則該多邊形截面面積的最大值為( ).

圖8

分析本題考查四面體的截面問題、線面的位置關系和線面垂直的性質定理,旨在考查學生的空間想象能力和轉化與化歸能力,培養學生的直觀想象和數學運算素養.

解在四面體ABCD中,AB＝CD＝2,AC＝,將四面體放到一個長方體中,其中長方體的長為,寬為,高為1.如圖9所示,因為EF⊥平面α,故截面為平行四邊形MNKL,可得,設異面直線BC與AD所成的角為θ,則sinθ＝sin∠LKN,可知,所以當且僅當NK＝KL時,等號成立.故選B.

圖9

點評

我們知道,幾何體組成的基本元素是點、線、面,解決幾何體中元素之間的等量和位置關系時,首先要尋求幾何體的模型,準確地把握幾何體中元素的關系,依托模型,提升解題能力,促進邏輯推理素養的提升.

例5已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3,垂直于棱AA1的截面分別與面對角線A1D,A1B,C1B,C1D相交于點E,F,G,H四點,則四棱錐A1-EFGH體積的最大值為________.

分析主要考查動態幾何體的體積最值問題,涉及線面垂直的性質定理和三次函數求最值的方法.

解如圖10所示,易知四邊形EFGH為矩形,△A1EF,△BFG為等邊三角形,設EF＝x,則FG＝,設棱錐的高為h,則,

圖10

點評

通過對空間圖形的觀察、實驗、操作和思辨,使學生了解平行、垂直關系的基本性質以及判定方法,空間想象能力的培養是立體幾何教學的重點.

2 總結與反思

縱觀近幾年的高考試題可以發現,高考試題來源于教材,又高于教材.高考中的立體幾何試題大多數是以長方體模型和截面模型為依托,考查學生的空間想象能力,關注學生的學科核心素養.

在立體幾何中,長方體模型和截面模型是非常重要的兩個模型,依托長方體模型和截面模型可以解決很多立體幾何問題.同時,把空間問題轉化為平面問題,也是求解立體幾何問題的一種基本方法.作幾何體的截面,既是將立體幾何問題轉化為平面問題的一個方法,也是理解空間點線面關系的一個很好的途徑.

長方體模型和截面模型的研究,對于發展學生的空間想象能力,提升綜合運用立體幾何各方面的知識技能,提高學生的解題能力,都是十分有啟發、有思考價值的題材.同時對學生進行空間幾何體截面的作圖等訓練也是培養和發展學生核心素養的拓展課題.