明確目標是要務 先猜后證是良策

◇ 北京 范方兵 王芝平(特級教師)

解析幾何既是高考的重點,也是高考的難點.在解答解析幾何題目時,往往會在某一步中思路受阻,不知該如何往下進行,迷失了解題的方向,有時即使能繼續往下計算,運算量也非常大.因此,在解題中找到解題的目標是首要任務,目標明確后,再考慮如何簡化運算.

我們知道,普遍性寓于特殊性之中,并通過特殊性表現出來,沒有特殊性就沒有普遍性,一個命題在一般情形下成立,那么它在特殊情形下也成立.為了明確解題目標、降低運算量、提高運算速度,對具有一般性結論的題目,若能發現題設條件具有某種特殊的數量關系或所給圖形具有某種特征時,可選取恰當的特殊元素(特殊點、特殊值、特殊圖形、特殊例子)進行簡單的運算、推理或判斷.

我們大致有兩個途徑來尋求解題目標:一是作出符合題目要求的示意圖,通過圖形的直觀性先猜后證,實際上,很多時候只要作出大致準確的示意圖,其結論就不難猜測;二是從特殊情形去算一算,通過特殊情形的結論,猜測一般情形的結論.下面以一道高考試題來進行具體說明,希望對讀者有所幫助.

1 試題再現

題目(2020年全國卷Ⅰ文21理20)已知A,B分別為橢圓E的左、右頂點,G為E的上頂點,為直線x＝6上的動點,PA與E的另一交點為C,PB與E的另一交點為D.

(1)求E的方程;

(2)證明:直線CD過定點.

2 解法分析

(2)思路1設P(6,p),則直線PA的方程為

所以

即

圖1

由對稱性可知,直線CD若過定點,則該定點必在x軸上.設定點為T(t,0),則

因為C,T,D三點共線,所以

如果感覺上述方程比較難解,那么還有沒有別的方法呢?實際上,著眼于“特殊性探路,一般性證明”的思路,我們在式①中可以取p＝1,不難得到再證明時,式①成立,運算難度就降下來了.

思路2因為兩點確定一條直線,所以C,D兩點坐標會滿足關于x,y的同一個一次方程,這個方程對應的直線過定點即可.

設P(6,p),C(x1,y1),D(x2,y2).當p≠0時,x1≠3,x2≠－3.因為A,C,P三點共線,所以kAC＝,得

①②表示點C的坐標所滿足的方程,③④表示點D的坐標所滿足的方程.

同理,可以得到③×3＋④×p,得4px2＋(3p2－9)y2－6p＝0.因此,直線CD的方程為4px＋(3p2－9)y－6p＝0,恒過點.當p＝0時,直線CD與x軸重合,必過點.

思路3設P(6,p),當p≠0時,x1≠3,x2≠－3,y1≠y2.若x1≠x2,直線CD的方程為y－y1＝,整理得.

于是,只需要證明

這是一個關于x1,x2,y1,y2的等式,我們希望利用點的坐標對幾何關系的刻畫,來證得等式成立.

首先,我們刻畫點P是直線AC與BD的交點.

由A,C,P三點共線,知

由D,B,P三點共線,知

因為①中只含x1,x2,y1,y2四個量,因此由式②③,消去p,得到整理得

這個結果離①還有點遠,其原因是點C,D在橢圓上還沒有得到刻畫,于是我們就從這里入手.

3 解后反思

2)思路2中,在得到式①②③④后,如果沒有解題目標“直線CD過定點的指引,那么下一步該干什么就會迷失方向,代數運算的難度也會很大,很可能會進行毫無目的的湊配.有了目標的指引,既清晰了解題思路,又使得代數運算有了思維的固著點,是一種清晰、生動的思維活動,而不是煩瑣的嘗試,真正體現了“代數運算表其外,幾何性質蘊其中”.

3)思路3也是基于對解題目標“直線CD過定點”的探索、猜想,得到了待證目標后面的代數變形都是圍繞這個目標來進行,使得整個解題過程一氣呵成.本題考查學生動手探索、轉化與化歸的數學能力,在平時的教學中,教師要引導學生動手實踐,根據圖形直觀、特殊情形,對所求結論進行大膽猜想,從而明確解題目標,選擇簡捷、合理的方法進行推理、計算,真正讓學生體會在解析幾何解題過程中“明確目標是要務,先猜后證是良策”.

4)本題以射影幾何中有關極點、極線的理論為基礎,背景深刻,設問精巧,考查解決解析幾何問題的一般思路與方法,考查數學運算、邏輯推理等數學核心素養.本題也可以基于極點、極線的理論,在雙曲線、拋物線中進行結論的相應拓展,限于篇幅,不再贅述.