架設(shè)階梯化解計(jì)算難點(diǎn)

高房

摘 要：在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，方差教學(xué)一直是教學(xué)重點(diǎn)，也是教學(xué)難點(diǎn)。本文旨在運(yùn)用新穎的教學(xué)方法，結(jié)合我校學(xué)生的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了借助表格、降低步驟難度的教學(xué)過程，用以化解計(jì)算難點(diǎn)。更想讓學(xué)生理解方差的意義及方差在現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際運(yùn)用，架構(gòu)階梯化解計(jì)算難點(diǎn)，激發(fā)了學(xué)生做題積極性，提高了學(xué)生答題正確率。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué);階梯化解;方差;平均數(shù)

一、內(nèi)容及其解析

（一）內(nèi)容

方差的意義及簡單應(yīng)用。

（二）內(nèi)容解析

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)能反映數(shù)據(jù)的“集中趨勢”，數(shù)據(jù)“離散程度”也是我們平時關(guān)注的重要統(tǒng)計(jì)量之一。刻畫數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計(jì)量有極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、平均差等。

方差是刻畫一組數(shù)據(jù)波動大小的統(tǒng)計(jì)量，方差越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定。當(dāng)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等或相近時，它們的波動大小可以通過畫圖觀察得到;為了量化數(shù)據(jù)的波動大小，這樣方差的公式就自然合理地產(chǎn)生了。方差與生產(chǎn)及日常生活中的實(shí)際問題緊密聯(lián)系，對學(xué)生統(tǒng)計(jì)觀念的形成有著重要的作用。

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)，在理解方差意義的基礎(chǔ)上準(zhǔn)確計(jì)算方差。

二、目標(biāo)及其解析

（一）目標(biāo)

1.了解方差的意義。

2.會計(jì)算方差比較兩組數(shù)據(jù)的波動大小。

（二）目標(biāo)解析

達(dá)成目標(biāo)1的標(biāo)志是：在經(jīng)歷畫圖、觀察、探索及量化數(shù)據(jù)離散程度的過程中，增進(jìn)對方差意義的了解，體會方差的作用。

達(dá)成目標(biāo)2的標(biāo)志是：會計(jì)算一組數(shù)據(jù)的方差，用方差來描述數(shù)據(jù)的波動程度。

三、教學(xué)問題診斷分析

由于剛學(xué)習(xí)了“數(shù)據(jù)的集中趨勢”，學(xué)生可能會習(xí)慣于用所學(xué)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)去解決生活中的統(tǒng)計(jì)問題，所以研究數(shù)據(jù)波動的必要性需要學(xué)生充分體會。由于方差的計(jì)算公式較復(fù)雜，學(xué)生難以記憶，這些都需要教師在遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律的基礎(chǔ)上借助典型事例加以說明。

基于以上分析，我校學(xué)困生在計(jì)算方面體現(xiàn)“嫌煩怕難”的特點(diǎn)，對于計(jì)算步驟較多而且小數(shù)較多的題目大多數(shù)學(xué)生會在第一時間選擇放棄。但是方差這種類型的題目又是中考的常見題型，必須要掌握。

本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：在對于方差意義理解的基礎(chǔ)上，計(jì)算方差并描述數(shù)據(jù)的波動程度。

四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）創(chuàng)設(shè)疑問，引入思考

問題1：乒乓球的標(biāo)準(zhǔn)直徑為40mm，質(zhì)檢部門從A、B兩廠生產(chǎn)的乒乓球中各抽取了10只，對這些乒乓球的直徑進(jìn)行檢測，結(jié)果如下（單位：mm）：

A廠：40.0，39.9，40.0，40.1，40.2，39.8，40.0，39.9，40.0，40.1;

B廠：39.8，40.2，39.8，40.2，39.9，40.1，39.8，40.2，39.8，40.2。

根據(jù)這些數(shù)據(jù)估計(jì)，我們應(yīng)該選擇哪個廠的乒乓球呢？

追問1：乒乓球的質(zhì)量可用什么量來描述？請計(jì)算后說明。

師生活動：教師提出問題并引導(dǎo)學(xué)生思考、闡明自己的看法，計(jì)算得兩個廠乒乓球的質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)（平均數(shù)）都是40mm。

追問2：平均數(shù)一樣的情況下，如何考查乒乓球質(zhì)量的穩(wěn)定性呢？

師生活動：教師引導(dǎo)，學(xué)生分析，可用每個球的尺寸與平均尺寸進(jìn)行比較;同時，關(guān)注學(xué)生在提出問題的解決方案時能否結(jié)合生活實(shí)際。

設(shè)計(jì)意圖：聯(lián)系生活實(shí)際，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。追問1復(fù)習(xí)了平均數(shù)在生活中的應(yīng)用，追問2又讓學(xué)生理解僅用平均數(shù)不能解決質(zhì)量穩(wěn)定性問題，它需要描述數(shù)據(jù)的波動性，讓學(xué)生感受到研究數(shù)據(jù)波動性的必要性，為方差的導(dǎo)入進(jìn)行鋪墊。

問題2：研究乒乓球質(zhì)量的穩(wěn)定性，就是了解數(shù)據(jù)的分布情況，采用什么方法可以描述數(shù)據(jù)的分布情況？

追問1：用圖反映出乒乓球質(zhì)量的分布情況。

追問2：為反應(yīng)波動性，應(yīng)該將每個球的尺寸與什么量進(jìn)行比較？

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生分析乒乓球質(zhì)量的穩(wěn)定性，現(xiàn)實(shí)意義在于研究每個乒乓球的差異性，其本質(zhì)是研究數(shù)據(jù)波動性;學(xué)生進(jìn)行分組合作，探索問題2的解決方案，若不能解決，再通過追問引導(dǎo)，活動中要引導(dǎo)學(xué)生注意圖的合理性與直觀性。

引導(dǎo)學(xué)生直觀地表示乒乓球的平均尺寸，并與各個球的尺寸進(jìn)行比較，初步得到結(jié)論;A廠乒乓球的尺寸較集中分布在平均尺寸附近，波動較小，而B廠乒乓球的尺寸波動較大，所以A廠的乒乓球質(zhì)量較穩(wěn)定。

（二）合作交流，強(qiáng)化計(jì)算

為了刻畫一組數(shù)據(jù)波動的大小，用畫圖的方法可以給我們以直觀的感受，但統(tǒng)計(jì)中常用公式的方法進(jìn)行計(jì)算：

但是對于我們專門學(xué)校的學(xué)生來說，方差的計(jì)算不僅步驟多，而且計(jì)算煩瑣，很多學(xué)生都不愿意計(jì)算。為了解決這一問題，教師給出較易于操作的方式：

設(shè)計(jì)意圖：直接呈現(xiàn)方差公式，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕忉?為了降低計(jì)算的煩瑣性，通過表格分散每一步的計(jì)算量，也可以減少學(xué)生對于計(jì)算的畏難情緒。

問題3：學(xué)生結(jié)合自己所畫的數(shù)據(jù)分布圖與方差計(jì)算公式，分組討論;教師聽取學(xué)生的意見，引導(dǎo)學(xué)生分析，找出規(guī)律;當(dāng)數(shù)據(jù)分布比較分散（數(shù)據(jù)在平均數(shù)附近波動較大）時，各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的平方和較大，方差就越大，反之亦然。學(xué)生分組計(jì)算后，進(jìn)一步感受方差描述數(shù)據(jù)波動大小的合理性，理解用方差刻畫一組數(shù)據(jù)波動大小的合理性。

顯然，SA2

設(shè)計(jì)意圖：在教師的引導(dǎo)下感受新知，通過合作交流，得出方差的規(guī)律，獲取新知。再通過計(jì)算驗(yàn)證，初步理解新知，并滲透用樣本方差估計(jì)總體方差的統(tǒng)計(jì)思想。

（三）應(yīng)用概念，解決問題

例：已知三組數(shù)據(jù)1，2，3，4，5;11，12，13，14，15和3，6，9，12，15。

1.分別求這三組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差。

2.對照以上結(jié)果，你能從中發(fā)現(xiàn)哪些有趣的結(jié)論？

師生活動：學(xué)生分組完成簡單問題，板書解題過程，學(xué)生思考問題，并和教師一起計(jì)算、判斷、解決問題。總結(jié)用方差估計(jì)數(shù)據(jù)波動程度的步驟。

設(shè)計(jì)意圖：鞏固方差公式，再一次體驗(yàn)方差在生活中的應(yīng)用，結(jié)合例題理解方差的意義，熟悉公式的計(jì)算過程為：先計(jì)算平均數(shù)，再求差，平方后再求平均，進(jìn)而規(guī)范解題格式。

（四）練習(xí)反饋，學(xué)以致用

教科書后練習(xí)題。

師生活動：學(xué)生獨(dú)立完成，教師課堂內(nèi)指導(dǎo)有困難的學(xué)生。

設(shè)計(jì)意圖：通過對方差的計(jì)算，體會方差是怎樣刻畫數(shù)據(jù)的波動程度的;先從圖中獲取信息，再計(jì)算方差，與圖進(jìn)行對比，進(jìn)一步理解方差的意義。

（五）小結(jié)

1.方差怎么計(jì)算？

2.平均數(shù)和方差有哪些不同？

設(shè)計(jì)意圖：問題1引導(dǎo)學(xué)生回顧方差的計(jì)算公式;問題2引導(dǎo)學(xué)生思考方差的統(tǒng)計(jì)意義。

（六）學(xué)生課后作業(yè)反饋

五、教學(xué)反思

“方差”屬于數(shù)學(xué)中的概率統(tǒng)計(jì)范疇，它的特點(diǎn)是與生產(chǎn)及日常生活中的實(shí)際問題緊密聯(lián)系，對學(xué)生統(tǒng)計(jì)觀念的形成有著舉足輕重的作用。基于我校學(xué)生的特點(diǎn)，因其計(jì)算的難度較大，從而設(shè)計(jì)了借助表格、降低步驟難度的教學(xué)過程，用以化解計(jì)算難點(diǎn)。通過這種方法，激發(fā)了學(xué)生做題積極性，提高了學(xué)生答題正確率。

難度較大的課程，教師要通過自己的智慧，站在學(xué)生的立場上為他們設(shè)計(jì)課程內(nèi)容和教授方式。其目的是為了學(xué)生的發(fā)展，使他們獲得更多成功的體驗(yàn)。

參考文獻(xiàn)

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