非等間距改進加權GM(1,1)模型在基坑變形監測中的應用

張 東，楊 靜,葛繼空

(1.誠邦測繪信息科技(浙江)有限公司，浙江 寧波 315000；2.中國水利水電第八工程局有限公司科研設計院，湖南 長沙 410000)

隨著社會經濟的發展，眾多大型基礎設施建設不斷涌現，這些基礎建設都伴隨著基坑工程?；拥拈_挖深度越深，技術難度也就越高，在開挖過程中，土體卸荷使受力平衡遭到破壞，導致基坑施工變形對城市周邊環境影響日益突出，因此，對基坑變形實時有效監控是基坑工程成敗的關鍵[1]。此外在施工過程中會受到施工因素、環境因素和時間因素的影響，給基坑變形預測帶來一些困難[2]。由于地鐵、建筑物等的眾多基坑工程位于人口密集區域，一旦發生事故會造成嚴重后果，因此，對基坑變形預測的研究顯得尤為重要。

近年來，眾多變形監測研究學者對基坑監測做了大量研究，其主要應用建模方法有回歸分析、時間序列分析、BP神經網絡、支持向量機等[3-5]。以上研究方法通常需要的樣本很大，且特點為典型概率分布，在實際工程監測應用中很難實現，因此，一定程度上限制了應用范圍。灰色模型針對小樣本數據處理具有一定的優越性，其GM(1,1)模型在工程領域應用最為廣泛，模型大多數是基于等時間間隔的數列，而在實際工程中受環境等多方面因素影響，監測數據很難做到等時間間隔。因此，建立非等間隔GM(1,1)模型在監測應用上具有很大的實用價值。廖展宇等[6]在非等間距模型中引入等時間差系數，對差值進行分析后序列還原，最后將非等間隔序列轉化成等間距序列，對基坑進行變形預測。李勇等[7]在非等間距模型中引入一種帶有適應性的λ因子，然后對模型中的背景值進行優化改進。魏玉明等[8]和梁新美等[9]利用加權GM(1,1)模型分別對滑坡工程于深基坑進行變形預測。何為等[10]針對監測過程可能含有粗差情況，提出一種抗差加權非等時距GM(1,1)模型應用于大型建筑物沉降預測。

基坑工程監測點受基坑開挖的影響，往往會在短時間內產生較大的變形，現有的非等間距灰色模型在基坑應用中無法處理突變數據的影響，導致精度很低。本文在現有的非等間隔灰色模型基礎上對時間做平滑，提出一種改進的加權非等間距GM(1,1)模型，并以實際基坑監測數據為例，對其方法進行實際應用。

1 非等間距改進加權GM(1,1)建模

1.1 灰色系統理論

灰色理論(Grey Theory)是由我國著名學者鄧聚龍教授于1982年首次提出。它是基于關聯空間、光滑離散函數等概念，定義了灰導數、灰微分方程，進而用離散數據建立了微分方程型的動態模型[11]。GM(1,1)模型是灰色系統理論中最為核心的內容，具有“小樣本”的研究特質和簡單實用的優點，模型建立只需要一個單變量的一階微分方程。建立步驟具體如下：

(1)設有n個非負原始觀測數據序列X(0)=[x(0)(1),x(0)(2)，…，x(0)(n)]，則由X(0)序列累加(1-AGO)得到序列X(1)為

X(1)=[x(1)(1),x(1)(2)，…，x(1)(n)]

(1)

(2)由序列X(1)構造背景值序列Z(1)為

Z(1)=[z(1)(1),z(1)(2),…z(1)(n)]

(2)

式中，Z(1)取X(1)緊鄰均值生成序列，即Z(1)(k)=0.5[x(1)(k)+x(1)(k-1)],k=2,3,…,n。

(3)建立灰色GM(1,1)模型的一級白化微分方程為

(3)

(4)根據最小二乘原理，灰色GM(1,1)模型的參數列為

A=[a,b]T=(BTB)-1BTY

(4)

將計算求得的參數a，b帶入式(3)，并求解微分方程，取初始條件x(0)(1)，得X(1)的時間響應函數為

(5)

(5)對式(5)再作一階累減函數還原計算(1-IAGO)，得到原始序列X(0)的還原值為

(6)

1.2 非等間距改進加權GM(1,1)模型

現有非等間距GM(1,1)模型中主要是以相鄰時間間隔進行加權處理，進行原始數據一次累加。現實監測過程中會受到施工擾動影響，在施工期間會受到外力作用產生較大變形，如果采用簡單的加權處理這些突變數據會使殘差變大，影響預測精度。 因此，本文建立非等間距改進加權GM(1,1)模型，具體建立步驟如下：

(1)設非等間距原始觀測序列為

X(0)={x(0)(t1),x(0)(t2)…，x(0)(tn)}

(7)

式中，tn-tn-1≠常數；x(0)(ti)為ti時刻監測點的變形值。

(2)對原始序列做一次累加處理

(8)

(3)對原始累加序列改進賦權處理，單位時間內變形為

(9)

令ρi=βvi

(10)

式中，ρi為原始序列疊加權，ρ1=1;β是為了保證原始序列最大時間間隔的一致。

(11)

通過以上定權的優點在于適應基坑突變問題，當變形速率較大時，即施工期間，累加序列可以適當放寬；當變形速率較小時，即停工期間，累加序列適當壓縮時間；當變形速率為負數，累計序列變小，可以認為是時間的回退。

(12)

得到序列

X(1)={x(1)(t1),x(1)(t2),…,x(1)(tn)}

(13)

(4)同理式(3)、式(4)，建立一階微分方程，估計參數列。將求取參數代入微分方程，可得離散解

(14)

還原數據

(15)

(5)因為預測序列n+1…的ρk是未知的，需要做如下近似：

取j=1,2,…，m表示時序號，則有

(16)

還原數據

(17)

若︳ρn︳比較小，表明變形已經趨于穩定，可以把tn以后的每個時刻變形值擬合出來，即：

(18)

2 模型的精度檢驗

為判斷非等間距改進加權GM(1,1)模型預測的可靠性，需要對模型的精度進行檢驗，通常是通過后驗差法。本文采用相對誤差、絕對誤差(殘差)、均方差比值C及小誤差概率P四個指標來評價擬合預測效果。

e=[e(1),e(2),…,e(n)]

(19)

e表示擬合值、預測值與原始數據的接近程度，因此e值越小越好。

相對誤差序列為：

(20)

相對誤差Δ表示預測殘差占原始數據的比例，因此，越小越好。

原始數列X(0)及殘差數列e的方差為：

(21)

(22)

(23)

后驗方差比值C和小誤差概率P共同決定模型精度。C值越小則預測精度越好，P值越大說明誤差較小的概率越大，模型精度越高。具體精度等級參照如表1所示。

表1 后驗差檢驗法精度等級參照表

3 實例與分析

本文以某高速跨鐵路轉體橋的鉆孔灌注樁基坑基礎監測數據為例[12]，來驗證非等間距改進加權GM(1,1)模型對基坑監測的可行性和有效性。具體監測數據如表2所示。

表2 基坑測點監測數據

首先，選取前7期監測數據作為原始序列分別建立傳統非等間隔加權GM(1,1)模型和非等間距改進加權GM(1,1)模型，用第8～10期數據來驗證預測結果，兩種模型對監測數據擬合與預測結果如表3所示。

表3 監測點擬合預測結果檢驗表

由圖1可知，非等間距加權改進GM(1,1)模型相比傳統的非等間距加權GM(1,1)模型擬合預測曲線更加光滑，變化波動更小。在前5期中，傳統模型與改進模型擬合精度都較高，但是隨著時間推移，第6期以后出現轉折，改進模型越來越接近實際值，而傳統模型則離實際變形曲線偏差變大。

圖1 實測值與擬合預測值對比圖

由圖2和表3可知，非等間距改進加權GM(1,1)模型相比傳統的非等間距加權GM(1,1)模型殘差有明顯的提高，特別在第5期以后兩種模型出現很大的差異。改進模型在第5期以后殘差由0值以下變為0值以上，從第8期開始越來越接近0值，即殘差越來越小。傳統模型在第5～6期殘差發生突變，由負值變為正值最高峰，第6期以后，殘差變小，經過0值到達負值最高峰。

圖2 兩種模型殘差曲線圖

將兩種模型進行精度對比分析，由表4可知，無論是后驗差比值還是小誤差概率，非等間距改進加權GM(1,1)模型都優于傳統非等間距加權GM(1,1)模型，且精度等級達到1級。

表4 兩種模型分別所在的精度等級

綜合以上分析，若基坑變形處于不穩定狀態，如基坑開挖中，傳統非等間距加權GM(1,1)模型預測精度較差，而非等間距改進加權GM(1,1)模型在基坑開挖結束后，在預測下一時刻的變形時，加入上一時刻的變形預測值，去除老的信息的時刻變形值，進行重建模型，實現動態預測。

4 結 語

本文針對現有的非等間距模型在基坑監測應用中的不足，提出一種非等間距改進加權GM(1,1)模型，該模型彌補了基坑監測中動態變化預測精度低、殘差大的缺點。結合具體基坑監測數據，進行建模，通過精度對比分析，結果表明，本文所述模型精度更高，在時間跨度較短區域改進加權處理動態灰色模型更加有優勢，突變后變平穩時精度有所降低。綜上所述，本文所述模型在基坑工程的變形處理中值得推廣，對基坑監測應用有很好的實用價值。