基于虛擬材料的滾珠絲杠進給系統建模及其時變特性研究*

陳勇將 湯文成 郭 魂 華洪良 劉宵陽

(①常州工學院航空與機械工程學院，江蘇 常州 213032；②東南大學機械工程學院，江蘇 南京211189)

滾珠絲杠進給系統被廣泛應用于數控機床中，其性能直接影響著數控機床的加工精度與質量。在高速切削過程中，滾珠絲杠進給系統是時變系統，其動力學模型會隨工作臺位置和負載工件質量的變化而改變[1]。對滾珠絲杠進給系統振動特性、時變特性等動態特性進行研究，建立其準確的動力學模型至關重要。

滾珠絲杠進給系統動力學模型主要包括集總參數模型、混合模型和有限元模型[2-3]：集總參數模型不能分析系統的時變特性；混合模型只對絲杠采用連續彈性梁模型，其他部件簡化成集中質量和彈簧阻尼單元，模型精度較差；有限元模型精度較高，但建模難度大。結合部模型的精確構建是進給系統混合與有限元模型準確建立的共性問題，其模型誤差是系統結構動力學建模誤差的主要來源[4]。因此，要建立準確的滾珠絲杠進給系統動力學模型，關鍵在于構建精確的結合部動力學模型。

在機床結合部建模方法中，基于虛擬材料的建模方法具有較高的精確性、較廣的適用性和較強的實用性[5]，因此，對此結合部建模方法開展的研究也越來越廣泛和深入[6-10]。然而，基于虛擬材料結合部建模的研究仍停留在部件級分析階段，對于滾珠絲杠進給系統不能只重視各結合部孤立的研究，更要開展系統級的結合部虛擬材料模型建模研究，才能建立準確的滾珠絲杠進給系統動力學模型。

1 滾珠絲杠進給系統動力學模型的建立

滾珠絲杠進給系統主要包括滾珠絲杠副、軸承及導軌等零件，它存在螺栓固定結合部和滾珠絲杠-螺母運動結合部、滾動導軌-滑塊運動給合部與軸承運動結合部兩種類型。基于虛擬材料的結合部動力學參數化建模法，滾珠絲杠進給系統固定結合部和運動結合部虛擬材料模型示意如圖1所示。

采用多目標優化算法獲得系統結合部虛擬材料模型的參數是一種有效的參數獲取方法[11-12]。以仿真固有頻率和試驗固有頻率之間差值的最小化目標函數計算模型，如式(1) ，選擇帶精英策略的非支配排序的遺傳算法(NSGA-II)作為多目標優化算法。基于分形理論建立系統結合部虛擬材料模型參數的解析模型，以此解析模型求解得到的動力學參數變化范圍作為約束條件。針對滾珠絲杠進給系統結合部虛擬材料參數的獲取，基于多目標優化方法獲取其參數可采用單獨和整體兩種獲取方法。

(1)

1.1 結合部虛擬材料模型參數的優化初值

滾珠絲杠進給系統結合部虛擬材料模型參數主要包括彈性模量、泊松比、密度和厚度。栓接固定結合部虛擬材料層的厚度一般約為1 mm，滾動導軌-滑塊與軸承運動結合部的厚度值為滾珠直徑值，滾珠絲杠-螺母運動結合部厚度值為螺母內徑與絲杠外徑差值，所以設計變量為彈性模量、泊松比和密度。考慮微凸體接觸變形存在的三個階段，基于兩微接觸點之間互相作用的彈性模量求解公式，可得到虛擬材料結合部的彈性模量求解公式為[5]

(2)

結合部虛擬材料的泊松比解析模型建立的關鍵是切變模量的構建，泊松比的表達式為

(3)

結合部虛擬材料的密度常用平均密度計算公式來計算：

(4)

式中：m1、m2分別為兩工件微凸體層的質量；V1、V2分別為兩工件微凸體層的體積；ρ1、ρ2分別為兩工件微凸體層的密度；h1、h2分別為兩工件微凸體層的厚度；Aa為結合面的名義接觸面積。

1.2 結合部虛擬材料模型參數獲取的多目標優化方法

針對滾珠絲杠進給系統結合部虛擬材料參數的獲取，基于多目標優化方法獲取其參數可采用兩種方法：一是單獨獲取到各結合部的虛擬材料參數，即設計變量為單個結合部的彈性模量、泊松比、密度和厚度，目標函數為含單個結合部試件的仿真固有頻率和試驗固有頻率之間差值的最小化；二是整體獲取到全部結合部的虛擬材料參數，即設計變量為全部結合部的彈性模量、泊松比、密度和厚度，目標函數為系統整機的仿真固有頻率和試驗固有頻率之間差值的最小化。

2 滾珠絲杠進給系統建模方法驗證

為了驗證基于虛擬材料方法建立的滾珠絲杠進給系統模型，搭建了如圖2所示的滾珠絲杠進給系統模態測試平臺，此平臺主要由力錘、三軸加速度計、數據采集器、實時動態分析模塊以及計算機組成。被測量滾珠絲杠進給系統主要結構參數見表1。實驗測量：螺母在3個不同位置時的進給系統固有頻率與振型，螺母移動位置的參照面為靠近前法蘭軸承座的導軌起始端面，如圖2所示，螺母位置1處、2處和3處距導軌起始端面分別為0 mm、115 mm和230 mm；含單個結合部試件的固有頻率與振型。

表1 滾珠絲杠進給系統模態測試平臺主要參數

模態實驗采用移動力錘法，傳感器安裝在絲杠上，通過橡皮繩懸掛滾珠絲杠進給系統試件來模擬自由邊界條件，在試件上布置了32個激勵點。根據模態有效質量比計算結果可知，需取3階試驗固有頻率參與到目標函數的優化過程。通過對比試驗模態振型與理論模態振型的相似性，確定此3階試驗固有頻率具體選擇的階數。由獲得的實驗振型可知，在3個不同螺母位置處，皆有一階與滾珠絲杠進給系統仿真振型對應的實驗振型未獲取到，分別為螺母位置1處、2處及3處的第2階、第1階及第2階實驗振型。同時可知，滾珠絲杠進給系統前3階振型，以絲杠的彎曲振動為主，伴有底板的扭轉振動。由圖3可知，基于滾珠絲杠進給系統虛擬材料動力學模型仿真得到的固有頻率與模態實驗獲取的固有頻率基本吻合，且基于整體獲取法獲取參數的仿真固有頻率更為接近實驗固有頻率。

3 討論

3.1 兩種方法獲取的結合部虛擬材料模型參數的對比與分析

由圖4～6可知，基于多目標優化方法整體獲取的結合部虛擬材料模型參數值都小于初值和單獨獲取法的獲取值，這主要是由于整體獲取法的目標函數為系統整機的仿真固有頻率和試驗固有頻率之間差值的最小化，而滾珠絲杠進給系統整機固有頻率較絕大部分單獨部件的固有頻率低(含各結合部的單獨部件固有頻率，以下簡寫成“各結合部的固有頻率”)。

同時可知，基于多目標優化方法單獨獲取各結合部虛擬材料模型參數值相較于整體獲取法的獲取值有著一定的分散性，這與單獨獲取法目標函數為各結合部試件的仿真固有頻率和試驗固有頻率之間差值的最小化有著直接關系。因為各結合部試件的固有頻率都不一樣，而整體獲取法的獲取值相對集中于3個區域，尤其是結合部虛擬材料模型的泊松比和密度，這與選取3階試驗固有頻率參與到目標函數的優化過程不無關系。滾珠絲杠-螺母運動結合部虛擬材料模型的彈性模量值最大，由已有研究可知，滾珠絲杠進給系統中滾珠絲杠-螺母結合部接觸剛度相對較大，從宏觀角度看彈性模量可以表征結合部的接觸剛度。

3.2 螺母位置與負載質量對進給系統振動的影響

由上可知基于整體獲取法獲取的滾珠絲杠進給系統結合部虛擬材料參數，將其獲取的參數代入至仿真模型，據此分析不同螺母位置與負載質量對進給系統動態特性的影響。在高速切削過程中，螺母位置與負載質量在不斷變化，這種變化會影響滾珠絲杠進給系統的振動模態。由圖3可知，隨著螺母位置從位置1移至位置3，即螺母遠離參照面的過程中，滾珠絲杠進給系統的前三階固有頻率皆先變大后減小。在螺母位置2處，即絲杠中間位置處的前三階固有頻率最大。這是由于螺母扮演了移動彈性支撐的角色，其位置變化會導致進給系統的剛度跟隨其產生相應的變化：當螺母處于絲杠兩端時，系統的總體支撐剛度最小；當螺母處于絲杠中間位置時，系統總體支撐剛度較大，其固有頻率也就越高。由圖7可知，工作臺負載質量越大，系統剛度越小，系統的固有頻率越小。工作臺負載質量對進給系統固有頻率雖有影響，但不如螺母位置對進給系統固有頻率的影響。

4 結語

(1)基于多目標優化方法單獨獲取各結合部虛擬材料模型參數的獲取方法計算量小，但操作繁雜，需要對各個結合部都進行試驗模態分析與仿真模態計算。基于多目標優化方法整體獲取全部結合部虛擬材料模型參數的獲取方法計算量大，需要同時優化全部結合部的參數，但操作簡單，只需對滾珠絲杠進給系統進行一次試驗模態分析與仿真模態計算，并通過實驗證明其獲取參數更為可靠。

(2)由于整體獲取法基于系統整機的固有頻率，故基于多目標優化方法整體獲取的結合部虛擬材料模型參數值都小于初值和單獨獲取法的獲取值。

(3)隨著螺母位置和工作臺負載質量的改變，滾珠絲杠進給系統的動力學模型具有時變特性。工作臺負載質量對進給系統固有頻率雖有影響，但不如螺母位置對進給系統固有頻率的影響。