船用起重機吊索張力建模與計算機數值仿真

鄭民民, 張秀鳳, 王任大

(大連海事大學 航海動態仿真和控制交通行業重點實驗室， 遼寧 大連 116026)

船用起重機是船舶自備的重要工程搬運設備之一。[1]自20世紀90年代以來，國內外學者就已開始對船用起重機開展相關研究。POSIADALA等[2]將起重機載荷系統簡化為一個球擺模型，將吊桿激勵引入吊擺模型，發現吊擺的激勵運動是三維的，不能作為平面運動來分析。TODD等[3]對船用起重機進行物理試驗之后得出起重機是典型的小阻尼系統的重要結論。史國友等[4]通過研究裝卸過程中貨物在空間運動的控制算法，并經OpenGL進行三維視景顯示，實現重大件貨裝卸動態仿真系統。馬博軍等[5]采用保守型拉格朗日方法建立橋式起重機吊擺系統三維動力學模型，并對仿真結果進行分析。MASOUD等[6]提出將載荷系統視為空間球擺模型的方法，并對建立的模型進行船模試驗，驗證模型的準確性。芮光六[7]基于延時反饋控制理論得出一種能在原本不能進行作業的海況下起吊和傳送貨物的方法。文獻[8]～文獻[10]基于OpenGL和Unity3D等三維引擎研制開發起重機吊裝卸作業的仿真系統。韓廣冬等[11]分析起重機在海浪運動中的動態響應，并通過搭建的試驗平臺驗證仿真結果的準確性。已有研究為起重機的單回轉和單俯仰運動分析提供了有益的參考。但在起重機的多驅動機構耦合激勵吊索張力和載荷空間運動軌跡等方面的分析并不充分。鑒于此，本文基于非保守型拉格朗日方程建立船用起重機操縱激勵型三維非線性動力學模型和吊索張力模型，并通過數值仿真對起重機在起升與下降作業過程中其吊索的張力響應特性和載荷運動空間軌跡進行分析，從而為重大件裝卸安全評估和載荷軌跡預報提供更多的理論支撐。

1 構建動力學模型

1.1 模型假設

由于船用起重機在實際運動過程中受多個因素的影響，其運動規律比較復雜，為方便建立起重機動力學模型，做以下假設：

1) 起重機吊臂和吊索均為剛體，無彈性形變。

2) 忽略吊臂和起重機吊索的質量。

1.2 載荷運動坐標系

以起重機旋轉基座O0為原點，O0x0指向艏部為x軸正方向，O0y0指向船左舷為y軸正方向，O0z0指向上為z軸正方向，建立空間直角坐標系O0x0y0z0，見圖1。圖1中:O0A為吊桿臂，其長度為LB；以吊桿頭A為原點建立平行于O0x0y0z0的吊點坐標系Axyz;α為起重機基座旋轉角度;β為起重機吊桿俯仰面角;吊索在俯仰面所成角度θ1為面內角;吊索垂直于俯仰面作垂線所成角θ2為吊索平面外擺角;載荷P通過吊索l與吊頭A相連。設吊頭A的坐標為A(xA,yA,zA),載荷P的坐標為P(xp,yp,zp)。

圖1 起重機坐標系定義

由圖1中的幾何關系可知，載荷P在慣性坐標系下的坐標為

(1)

結合A點在O0x0y0z0坐標系中的坐標可得到載荷P在慣性坐標系下的坐標為

(2)

1.3 運動方程

考慮到空氣阻力摩擦力對載荷的干擾，選取θ1和θ2為系統的廣義坐標，由拉格朗日方程可建立方程組[12]為

(3)

在慣性坐標系下對載荷P的坐標進行求導運算，得出載荷速度矢量坐標和系統動能T。設系統勢能V是關于l、θ1和θ2的函數，τ1和τ2分別為面內角和面外角所受空氣摩擦力。[13-14]通過求解式(3)，可得關于面內角加速度與面外角加速度的二階微分方程為

(4)

(5)

2 吊索張力模型

根據牛頓第二定律可得載荷運動方程為

(6)

(7)

將式(7)代入式(6)中，可得

(8)

求解式(8)可得張力表達式為

(9)

3 起重機作業仿真試驗

對式(4)、式(5)和式(9)進行數值仿真，分析船用起重機在耦合作業過程中的載荷運動空間軌跡和吊索張力變化情況。

3.1 回轉運動對載荷運動和繩索張力的影響

圖2 面內角θ1、面外角θ2變化曲線

由圖2～圖4可知:面內角幅值區間為[-0.075,0.090]rad,面外角幅值區間為[-0.042,0.042]rad,面內角響應幅值比面外角大，起重機回轉運動能明顯減小吊索張力幅值。在回轉作業過程中，張力值的幅值區間為[9.784×103,9.852×103]N，張力較大值出現在仿真時間15 s時，張力值FT=9.852×103N，說明在回轉運動結束之后，張力值存在數值突變的現象。

3.2 俯仰運動對載荷運動和繩索張力的影響

圖5 面內角θ1和面外角θ2變化曲線

由圖5～圖7可知：在起重機俯仰運動過程中，面外擺角始終為0，表明單俯仰運動不改變面外擺角幅值，此時可將系統等效為單擺模型；俯仰運動中面內角幅值區間為[-0.135,-0.100]rad，與回轉運動相比，俯仰運動過程中的角度幅值增大；作業過程中吊索張力值區間為[-0.998×104,1.018×104]N，與回轉運動數值相比，張力數值較大；張力值在空間中分布在同一個平面內，最大值出現在俯仰運動激勵的初始時刻。

3.3 回轉、俯仰和吊索提升耦合作業對載荷運動和繩索張力的影響

圖10 載荷空間軌跡及FT隨軌跡變化曲線

由圖8～圖10可知：船用起重機在提升作業過程中，提升速度的增大對面內角和面外角有放大的作用。由圖8中橢圓標記范圍內面內角和面外交擺幅的變化可知:在提升速度下降之后，面內角和面外角的擺幅呈現出周期性的非線性變化，說明繩索的提升速度是維持吊索擺幅線性變化的原因。圖9中張力值的變化區間為[0.931×104，1.107×104]N，起重機的回轉與俯仰擾動降低提升過程中吊索的張力值。載荷平面軌跡可近似為長軸為13.537 m，短軸為11.137 m的橢圓。同時，吊索張力與吊索擺角并不同步，與吊索張力達到穩定值相比，吊索擺角存在一定的時間延遲。另外，由載荷空間軌跡和張力數據點可知：在提升過程中，載荷在空間內的軌跡半徑增大，使得提升作業所需空間增大，吊索張力較大值主要集中在提升階段結束之后的一段時間內，說明在提升過程中隨著繩索逐漸變短，吊索所受張力值增大。

3.4 回轉、俯仰及吊索下降耦合作業對載荷運動和繩索張力的影響

圖11 載荷軌跡平面圖曲線

由圖11～圖15可知:在船用起重機吊索下降過程中，下降速度的增大對吊索擺動幅值有明顯的抑制作用。在作業過程中，吊索張力的衰減速度比吊索擺角的衰減速度快，吊索張力值區間為[0.929×104，1.028×104]N。對比試驗3中的吊索張力值區間可看出，吊索下降運動能有效降低耦合操作過程中吊索張力的幅值。同時，回轉和俯仰運動在試驗4中增大了吊索的張力幅值,吊索下降速度降為0 m/s之后，吊索張力值出現短時間的突變現象。另外，張力空間分布云圖表明吊索下降過程中張力的較大值集中出現在吊索長度較短時。載荷平面二維軌跡圖可等效為短軸為0.346 m、長軸為0.708 m的橢圓如圖15所示，對比試驗3的載荷平面運動軌跡，可見吊索下降作業所占空間更小。

4 模型有效性驗證

本文建立的模型相比以前的模型，考慮了空氣摩擦力和起重機的回轉與俯仰耦合運動，更為通用。由于文獻[6]中MASOUD已建立精確的起重機模型(稱標準模型)，并通過物理樣機對其有效性進行驗證，其模型為本文所建模型中LB=0時的特殊情況。因此,對2個模型在相同初始條件下進行仿真試驗，結果見圖16～圖19。

由圖16～圖19可知：擺角幅度穩定之后標準模型的幅值為[-0.8,0.8]rad,面內角周期為10.8 s,面外角周期為10.9 s；本文模型穩定之后的擺角幅值也為[0.8,-0.8]rad，面內角周期為10.8 s,面外角周期為10.9 s。由于添加的阻力值不同，擺角收斂速度略有不同，但整體變化規律與文獻[6]有較好的吻合性，整體變化趨勢符合船用起重機的變化規律。

5 結束語

本文建立含空氣摩擦力項的船用起重機操縱激勵型非線性動力學模型和吊索張力模型，并通過數值仿真，分別對起重機的回轉、俯仰、多指令起升和下降等作業過程的非線性動力響應進行研究，得到以下結論：

1) 在相同加速度激勵下，俯仰作業時吊索所受張力比回轉作業時更大。

2) 起升作業時吊索提升速度激勵對吊索擺幅有放大作用；下降作業時吊索速度激勵對吊索擺動幅度有明顯抑制作用。

3) 在起升作業過程中，載荷空間運動軌跡半徑比相同條件下下降作業過程中的載荷軌跡半徑大。

4) 起升過程中起重機的回轉運動和俯仰運動能明顯減小吊索張力值，下降過程中會明顯增大吊索張力值。

5) 提升作業過程中吊臂頭附近的吊索張力值較大，繩長較短時吊索張力值較大。

6) 在下降作業過程中，當吊索速度降為0時，吊索張力值存在突變的現象。

本文通過數值仿真得到吊索張力值和載荷空間運動軌跡規律，對提升、下降控制器的設計以及提升船用起重機作業的安全性和吊裝卸作業效率有指導意義。