五自由度冗余機械臂運動學分析

谷雷 黃福洋

摘要：為了完成對核聚變試驗裝置的日常維護工作，通過遙操作機械臂對核聚變實驗堆裝置進行包層維護是核聚變實驗遙操作維護系統的重要任務之一。包層遙操作維護機械臂工作空間狹小，需對機械臂進行特殊設計。設計五自由度冗余機械臂方案，并進行動力學分析和Matlab仿真分析。

關鍵詞：核聚變裝置;機械臂;運動學分析;D-H法;Matlab

中圖分類號：TP242? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1674-957X（2021）12-0073-04

0? 引言

煤炭、石油等傳統能源的使用帶來巨大的污染，對人們的生產、生活造成巨大影響，因此清潔能源的利用顯得尤為重要。核聚變反應是一種理想的獲得清潔能源的途徑[1]，托卡馬克是核聚變商用的重要裝置。由于對裝置的維護工作需在一定的輻射環境下進行，因此采用遙操作機械臂執行相關維護工作是最重要的實現方案[2]，已驗證其可行性，如在國際熱核聚變實驗堆ITER包層維護采用遙操作機械臂順利完成任務[3]。我國的核聚變項目CFETR中包層的轉運任務由遙操作機械臂完成，由于聚變堆內部空間狹小，包層底部鎖緊軸銷維護機械臂的設計難度增大，結構要求特殊。設計可折疊的五自由度冗余機械臂，可在狹小空間內工作，且避障能力較好，故能夠在復雜的聚變裝置內執行維護工作[4]?？蓮V泛應用于工作空間狹小、復雜的工作環境，解決人工無法完成的工作，具有一定的避障能力。在汽車生產領域，可取代人工安裝螺栓、鉆孔等工作，提高工作效率、工作質量;冶煉過程中，代替工人抓取鑄造鋼坯，避免工人受傷，提高效率;大型鍛造過程中，代替人工完成鍛造件的轉運，保障工人的人身安全，降低風險。

本文選擇五自由度冗余機械臂作為研究對象，通過改進型D-H參數法對機械臂進行運動學分析、求解，并通過MATLAB進行仿真分析，為后續機械臂研究提供參考。

1? 機械臂結構參數

通過關節坐標結構，機械臂設計為五自由度冗余機械臂，包括四個轉動自由度和一個底部移動自由度[5]，最大負載20kg，最大工作半徑770+300mm。通過改進型D-H參數法和各關節間的相互關系，建立五自由度冗余機械臂的運動學模型，5個關節建立包括參考坐標系在內的6個坐標系，推導齊次變換矩陣，計算出相關位姿參數，得到各關節坐標系間的位置和姿態[6-8]，從而獲得機械臂位姿和運動的狀態。根據改進型D-H參數法建立機械臂坐標系，如圖1所示，機械臂D-H參數如表1所示。

其中？琢i-1表示繞Xi-1軸旋轉使Zi-1軸Zi與軸平行的角度;ai表示沿Xi-1軸方向移動，使得Zi-1軸與Zi軸共面的距離;di表示沿Zi軸方向移動，使得Xi-1軸和Xi軸重合的距離;？茲i表示繞Zi軸旋轉使Xi-1軸和Xi軸平行的角度。

2? 機械臂運動學正解

機械臂是由一系列連桿和關節組成的。機械臂運動學正解為已知關節角度？茲i（i=1～5），通過計算得出末端執行器的位置和姿態，此過程通過變換矩陣表示。連桿變換矩陣用i-1Ti表示，其表達式為：

得到每個關節的齊次變換矩陣：

得到末端執行器在基坐標系中的位姿：

其中n、o、a表示末端執行器相對于基坐標系運動的三個軸，其中n為垂直軸，o為方向軸，a為接近軸，表達式中的各項分別為：

3? 機械臂運動學逆解

逆運動學求解為求解正運動學的逆過程，求解思路為給定機械臂末端執行器一個期望位姿，通過解析法計算得出各個關節的運動參數。

當0T5已知，根據上述公式（2）～公式（7）得？茲i（i=1～5）。

①求解？茲2的值。

已知：

令等式兩端矩陣（1，2）、（3，2）元素對應相等，得：

這里的四象限反正切函數Atan2（sin，cos）[9]是機器人中常用的函數，可有效避免計算出錯。如式（12）中？茲2采用Atan2（sin，cos）函數的輸入參數為角度的值sin和cos值，可以準確的定位到某一確切象限。

②？茲3求解。

令公式（10）兩端矩陣（2，4）、（3，4）元素對應相等，得：

整理得，

得，

③求解？茲4的值。

令公式（10）兩端矩陣（2，1）、（2，2）元素對應相等，得：

④求解？茲5的值。

令公式（10）兩端矩陣（1，1）、（3，3）元素對應相等，得：

4? MATLAB仿真分析

4.1 驗證正運動學

將機械臂D-H參數輸入MATLAB機器人工具箱中L=link（？茲? d? a? ？琢）函數生成連桿，利用Robot=SerialLink（）函數生成模擬機械臂，將各關節轉角？茲=[pi/2? pi/4? -pi/3? pi/4]、d1=0輸入機器人工具箱的T=fkine（）函數計算位姿矩陣，與式（21）進行對比，得出正運動學計算正確。給定關節轉角的位姿，如圖2所示。

4.2 驗證逆運動學

將已知的末端執行器位姿作為輸入量，帶入公式（12）、公式（15）、公式（18）、公式（20）計算出各個關節角，得出的計算值與給定值d1=0、？茲2=？仔/2，？茲3=？仔/4，？茲4=-？仔/3，？茲5=？仔/4一一對應，驗證逆運動學正確。

4.3 工作空間分析

工作空間是機器人末端執行器能夠到達空間所有點的集合，反映末端執行器的位置。蒙特卡洛法是借助于隨機抽樣（偽隨機數）來進行數學問題分析的一種數值方法[10]，采用蒙特卡洛法[11-12]完成機械臂能夠到達空間內的點集的采集，展現機械臂的工作空間。利用MATLAB中的Rand函數得到各個關節隨機組合形成的末端點集（theta（i）=thetamin（i）+（thetamax（i）-thetamin（i））*rand）。蒙特卡洛法核心為隨機取樣，故隨機取樣點數目越多，計算結果越準確，本文由于計算機配置原因，設置取樣點數為10000，利用plot3函數，MATLAB生成點云，即機械臂末端執行器在基坐標系中的位置點集，如圖3所示。

各關節轉角如表2所示，得到工作空間在XOY平面、YOZ平面、XOZ平面的投影，如圖4、圖5、圖6所示。

5? 結論

針對CFETR包層維護設計五自由度冗余機械臂，利用改進型D-H參數法構建出機械臂運動學的數學模型，對正運動學、逆運動學分析，求解出機械臂正、逆工作方程的數學函數公式和運算求解過程。通過MATLAB軟件中的機器人工具箱，對機械臂位姿仿真，驗證機械臂正、逆運動學的準確性。對結果分析，確定結果與公式推導的數值基本一致，證明其準確性。通過蒙特卡洛法研究機械臂的工作空間，了解末端執行器所能到達的極限位置，確保其完成工作任務，為同類機械臂的研究提供參考和研究基礎。

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