基于多變量優化的恒定應力加速退化試驗設計

劉 根, 王治華, 屈懷遠, 李 璐, 劉成瑞

(1. 北京航空航天大學航空科學與工程學院, 北京 100083;2. 北京控制工程研究所研發中心, 北京 100080)

0 引 言

隨著科學技術的不斷發展,航空航天、工業裝備等領域產品高可靠、長壽命的特點日益凸顯,加之結構復雜、造價昂貴、研制周期緊迫,難以通過傳統的壽命試驗獲得足夠的失效數據,這對以失效數據為分析對象的傳統可靠性理論形成了巨大挑戰[1]。由于產品的失效大多可以追溯到關鍵性能指標潛在的性能退化過程,且可通過提升應力水平加快其退化,在較短時間內得到更豐富的壽命信息,因此加速退化試驗已普遍應用于長期服役產品的壽命評估和可靠性分析。更進一步地,如何在有限的試樣數、試驗時間和試驗經費等客觀約束條件下,通過加速應力水平、試樣安排及測試時間等試驗要素的優化設計,在確保試驗效率與評估精度的前提下,有效降低試驗總成本,已成為當前可靠性領域的研究熱點。

加速退化試驗優化設計主要包括優化目標函數構建以及優化算法實現(確定設計變量,并求解設計變量的最優解)兩項關鍵問題。加速退化建模是目標函數構建的基礎,主要包括退化分布模型[2]、累積損傷模型[3]、退化軌道模型[4]和隨機過程模型[5-6]等。目前應用最廣泛的是基于隨機過程的加速退化模型,基于Wiener過程的加速退化模型能夠描述多種典型產品的退化過程,且具有良好的計算與分析性質,已成為目前最基本、應用最廣泛的加速退化模型之一[7]。目前,通常基于可靠性指標分析精度和模型參數估計精度來構建加速退化試驗的優化目標函數[8]。由于加速退化試驗的目的是開展壽命評估和可靠性分析,基于壽命指標估計漸進方差的優化目標函數得到了廣泛應用[1]。因此,本文利用基于Wiener過程的加速退化模型壽命估計的漸進方差構建優化目標函數。

加速退化試驗的設計變量包括加速應力水平、各應力水平下的試樣分配以及各應力水平測試時間,優化算法旨在基于優化目標函數和約束條件,確定設計變量的全局最優組合,從而給出最優試驗方案。文獻[9-10]提出一種基于Wiener過程的加速退化試驗優化設計方法,對加速應力水平與各應力水平下試樣分配進行了優化,但該方法沒有考慮各應力水平下測試時間的優化問題。文獻[11]基于Wiener過程對試驗試樣安排與試驗時間進行了優化,但該方法無法優化加速應力水平。文獻[7]采用列舉的辦法尋求最優試驗方案,這種方法簡單直觀,但優化效率不高且設計變量只能取整數。文獻[12]預先給定一系列試驗方案,基于蒙特卡羅仿真方法計算各方案目標函數,根據目標函數值的大小選取最優解。該方法在一定程度上提高了搜索效率,但設計變量的搜索范圍依賴預先設定試驗方案。文獻[13-14]針對步進加速退化試驗與序進加速退化試驗，采用降維設計變量的方法減小最優解的搜索空間,提高了算法優化效率,但由于該方法縮小了搜索空間,因此有可能錯過最優解。

綜上可見,現有加速退化試驗設計的優化算法主要面臨兩方面挑戰:一是無法實現加速應力水平、各應力水平下的試樣分配，以及各應力水平測試時間等多設計變量同時優化;二是搜索最優解的方法有一定局限性,難以在全局范圍內確定最優解。

本文基于Wiener過程進行加速退化建模,以壽命指標估計漸進方差為基礎構造優化目標函數,建立能夠同時優化加速應力水平、試樣分配與測試時間等多個試驗設計變量的優化算法,在試驗經費等客觀約束條件下開展恒定應力加速退化試驗優化設計研究。本文采用遺傳算法[15]與蒙特卡羅仿真相結合的方法,提升優化算法效率,實現全局最優解搜索,為加速退化試驗優化設計提供新的思路和方法。

1 加速退化試驗優化設計方法

本節從試驗設計變量、目標函數與約束條件、優化過程及敏感性分析4個方面,闡述恒定應力加速退化試驗優化設計方法。

1.1 試驗設計變量

試驗設計變量描述如下:

(1) 選擇高于工作應力水平S0、低于產品極限應力Smax的L個加速應力水平,且S0

1.2 目標函數與約束條件

(1)

可見,產品性能退化的對數似然函數與失效壽命分布是構建目標函數的基礎。本文采用漂移Wiener過程描述產品的性能退化過程,以溫度為加速應力,用阿倫尼斯模型描述加速應力與產品退化速率的關系,由此得到產品恒定應力加速退化模型為

(2)

式中,Y(t)為產品性能指標在t時刻的退化量;μ(S)為漂移系數,表征產品性能指標的退化速率;σ>0為擴散系數,描述退化過程的分散性;B(·)為標準布朗運動。根據加速方程,產品性能指標的退化速率與加速應力水平S有關。在加速方程中,a為常數,b=-Ea/K,K為玻爾茲曼常數,Ea為激活能(單位eV),S為溫度(單位為K)。

令第i個應力水平下第j個試樣在第k個測量時刻的性能指標退化量為yijk,Δyijk=yijk-yij(k-1),Δtk=tk-tk-1,i=1,2,…,L,j=1,2,…,mi,k=2,3,…,ni。則

(3)

由此可以得到對數似然函數為

(4)

進一步得到信息矩陣為

(5)

其中E(·)表示對括號中內容取期望，根據加速退化模型,在t時刻性能參數退化量服從正態分布

(6)

其中Φ(·)是標準正態分布函數，由性能退化失效定義,產品在t時刻失效即為在t時刻產品的性能指標達到退化閾值Df。考慮到大多數產品的退化過程均為不可逆過程,對于性能指標隨時間增大的情況,可以得到在工作條件So下產品失效壽命分布為

(7)

令

(8)

則有

(9)

將式(5)和式(9)代入式(1)即可得到目標函數。

假設試驗試樣的單價為Cu,單位時間進行試驗所需費用為Co,單次測試所需的費用為Cm,則試驗總費用可以表達為

(10)

綜上,恒定應力加速退化試驗優化問題可以表達為

(11)

1.3 試驗優化過程

目前加速退化試驗設計大多從預先給定的可行方案集中搜索最優解,這種方法效率低且容易錯過最優試驗方案。針對這一問題,本文提出一種基于遺傳算法的最優試驗方案優化算法,可以根據試驗條件允許的設計變量范圍,全局搜索最優組合。

遺傳算法是一種通過模擬自然進化過程搜索最優解的過程,通過選擇、交叉、變異等遺傳算子將解空間中具有最高適應度的個體作為最優解輸出。本文將試驗優化變量的不同組合編碼為二進制的特定染色體,以試驗設計的目標函數作為適應度函數,模擬生物遺傳過程不斷產生子代并計算各染色體的適應度函數,最終得到適應度最優的染色體,將該染色體解碼為特定試驗優化變量的組合,即可得到最優試驗設計方案。具體步驟描述如下。

步驟1確定待優化的試驗設計變量η=(S1,S2…SL,m1,m2,…mL,n1,n2…nL,f)及其允許解空間D。

步驟2設置種群數量、遺傳代數、復制概率、交叉概率和突變概率。

步驟3根據規定的種群數量從解空間D中生成初代染色體組。

步驟5根據種群數量、復制概率、交叉概率和突變概率生成下一代染色體組,其中目標函數值小的父代有更大的概率被復制到下一代。

步驟6重復步驟4和步驟5,直到最佳目標函數值的變化達到收斂條件或達到規定的遺傳代數。

1.4 敏感性分析

在加速退化試驗優化設計前,可根據產品設計信息、預試驗信息或在先壽命試驗信息預估模型參數,進而基于該預估值開展優化設計。模型參數預估值與真實值之間可能存在偏差,該偏差可能會影響試驗優化設計的準確性。因此,為確定試驗優化方案在模型參數存在偏差時的穩健性,進而驗證優化方案的有效性,需開展敏感性分析。

本文敏感性分析的思路為:對加速退化模型中各參數分別加入一定偏差(通常為10%),然后基于加入偏差后的加速退化模型參數值重新進行試驗優化設計,得到新的試驗設計優化方案。通過對比最優試驗方案的波動情況,驗證各個模型參數存在正負偏差時對試驗優化結果的影響大小,從而驗證該優化設計方法結果的穩健性。

2 算例分析

碳膜電阻器的電阻隨時間逐漸增大,電阻增大1.6%時視為失效,為典型性能退化過程,且退化速率與溫度有關[16]。因此,本文以溫度為加速應力對其開展恒定應力加速退化試驗優化設計。根據工程實際情況,試驗前提條件如下:可供試驗的試樣總數為15,試驗應力(溫度)范圍為403～463 K,試驗總費用上限為15 000元。

進一步采用本文建立的方法,結合具體試驗條件對該碳膜電阻器開展恒定應力加速退化試驗優化設計研究。具體如下。

(1) 基于文獻[17]的測試數據及式(2)中的加速退化模型,得到模型參數預估真值為(a,b,σ)=(0.204,-831,0.002 75)。

(2) 確定本次試驗設計變量定為η=(S1,S2,m1,m2,n1,n2,f),并根據試驗條件確定其解空間。

(3) 根據第1.2節方法建立優化目標函數與約束條件。

(4) 采用第1.3節優化過程在試驗設計變量的解空間內搜索得到能使目標函數取值最優的試驗方案。

假設各項費用(Cu,C0,Cm)=(500,30,15)(單位時間為100 h),在不同總費用約束條件下,試驗優化設計結果如表1所示。表1中,Avar為工作應力水平下該碳膜電阻器95%可靠壽命估計的漸進方差,表征壽命估計的精度。由結果可知,隨著試驗總費用約束的變化,最優試驗方案也不同,且試驗費用越多,目標函數值越小(即評估精度越高)。

為了驗證本文建立試驗優化設計方法的有效性,將本文試驗設計方案記為M0,采用工程中常用的基于平均分配原則的設計方法作為參考(記為M1),對比兩種方法得到試驗方案對應的95%可靠壽命估計精度,結果如表2所示。可見,本文優化方法得到的試驗設計方案試驗費用更少,壽命估計的漸進方差更小,即壽命估計精度更高。

本文進一步對試驗優化結果進行了敏感性分析,將加速退化模型預估值分別加入±10%的偏差。以參數a為例,分別考察其取值為90%a和110%a時最優試驗方案的變動情況。敏感性分析結果如表3所示,可見,當模型參數預估值變化時,各應力水平下的試樣分配結果不受影響,應力水平、測試時間和目標函數波動均很小,表明優化設計結果有較好的穩健性,從而驗證了本文建立的恒定應力加速退化試驗優化設計方法的有效性。

表1 不同費用約束下試驗優化設計結果

表2 不同試驗優化方法對比結果

表3 參數敏感性分析結果

3 結 論

本文利用基于Wiener過程的恒定應力加速退化模型,考慮可靠壽命估計精度構建了優化目標函數;基于遺傳算法提出了在試驗費用約束下加速應力水平、各應力水平下試樣分配和測試時間多變量的全局高效尋優方法,從而確定最優試驗方案。

針對碳膜電阻器開展恒定應力加速退化試驗優化設計研究,在不同試驗總費用約束下確定了最優試驗方案,驗證了本文方法的可行性。

針對加速退化試驗優化方案開展了敏感性分析,結果表明最優試驗方案有良好的穩健性,進而驗證了本文優化設計方法的有效性。