“估算”無理數(shù)

文謝 蕓

在本章，我們學(xué)習(xí)了無理數(shù)的定義。結(jié)合有理數(shù)比較大小的方法，我們是否可以估算無理數(shù)的大小？答案是肯定的。我們利用完全平方數(shù)和算術(shù)平方根可以對無理數(shù)的大小進行估算。下面，讓我們通過兩道例題一起來了解。

例1 【閱讀材料】∵即2＜＜3，

【解決問題】（1）填空：的小數(shù)部分是______；

【解析】（1）由于4＜7＜9，所以可求得的整數(shù)部分是2，進一步得出的小數(shù)部分是- 2。

例2對于實數(shù)a，我們規(guī)定：用符號表示不大于的最大整數(shù)，稱為a 的 根 整 數(shù)。例 如：=3，=3。

（3）我們對a 連續(xù)求根整數(shù)，直到結(jié)果為1 為止，例如：對10 連續(xù)求根整數(shù)兩次，，這時候結(jié)果為1。那么，對120 連續(xù)求根整數(shù)____次之后結(jié)果為1；

（4）只需進行3 次連續(xù)求根整數(shù)運算后結(jié)果為1 的所有正整數(shù)中，最大的是____。

【解析】（1）要先估算和的大小。∵22=4，62=36，72=49，∴6＜＜7。

（4）進行3 次連續(xù)求根整數(shù)，只要找到每次要求根整數(shù)的最大的整數(shù)就行。我們從后往前推，由（2）可得，根整數(shù)為1 的最大整數(shù)是3。同理，3 是小于4 的最大整數(shù)，∵42=16，∴根整數(shù)為3 的最大整數(shù)是15；∵162=256，∴根整數(shù)為15 的最大整數(shù)是255。∴進行3 次求根整數(shù)后結(jié)果為1 的所有正整數(shù)中，最大的是255。