高等代數與解析幾何的穿插與滲透教學

董可榮，沙旭東

高等代數與解析幾何的穿插與滲透教學

董可榮，沙旭東

（淄博師范高等專科學校 數理科學系，山東 淄博 255130）

高等代數與解析幾何是理工科類與師范類高校必學科目，在數學知識的發展進程上二者相互完善共同推進．研究了當二者合并為一門課程時的內容編排問題，從幾何向量的坐標表示法是溝通代數與幾何的關鍵，線性方程組解的結構體現了幾何中的平面關系，解析幾何中旋轉坐標變換是矩陣代數中線性變換在幾何中的應用，數量積等向量乘法的運算是行列式在幾何中的應用，幾何空間中平面與直線的關系是代數中線性空間與子空間結構的幾何體現等方面闡述了高等代數與解析幾何知識間的相互穿插與滲透，探討了如何在保持代數與幾何相對完整的情況下使得2部分內容融會貫通．

高等代數；解析幾何；穿插；滲透

高等代數與解析幾何是理工科類與師范類高校必學科目，是一門基礎性課程．高等代數與解析幾何是不可分割的[1]．不管是作為2門課程還是合為一科，都能看出它們的重要性，二者又有著必然的聯系，解析幾何本就是用代數的方法來研究幾何問題，甚至用代數的思想來解決問題，因為解析幾何的方法和結果的實質都是代數[2]．而高等代數的理論往往有著它的幾何意義．在數學知識的發展進程上二者也是相互完善共同推進．當二者合并為一門課程時，存在內容的編排順序問題，以及師生在教學時如何融會貫通形成一個完整體系的問題．縱觀解析幾何的內容，其在很大程度上依賴于高等代數的發展，如在關于直線和平面的理論里，不管是形式還是內容，大多利用了線性代數中行列式等工具．所以應該在學習了一定的線性代數內容作為基礎之后，再來學習解析幾何知識，因而解析幾何應編排在行列式與矩陣之后．再者，代數中線性方程組解的結構與幾何中線面關系相聯系，并且線性空間中線性相關性等諸問題又基于向量等幾何問題之上，所以解析幾何最好排在線性方程組與線性空間之前．這樣，二者的編排順序為：多項式——行列式——矩陣——空間解析幾何——線性方程組——線性空間——線性變換——二次型．編排順序確定后，就是如何在保持代數與幾何相對完整的情況下使得2部分內容融會貫通．經驗梳理一下高等代數與解析幾何合二為一教學時的穿插與滲透．

1 幾何向量的坐標表示法是溝通代數與幾何的關鍵

在這里可以用坐標代替向量討論問題，于是向量之間的關系和向量之間的運算可以轉化為它們坐標之間的關系和坐標之間的運算，因而坐標表示法是溝通代數與幾何的關鍵．

2　線性方程組解的結構體現了幾何中的平面關系

在解析幾何中，點、直線和平面都可以用含有坐標的線性方程（組）表示；反過來，線性方程組解的結構又體現了幾何中的點、直線與平面的關系，線性方程組這個代數概念就與幾何的線或面之間建立了聯系．

由此，方程組解的結構體現了平面的各種位置關系．在這里討論解的不同情況就用到了代數的行列式知識，行列的比例關系以及向量的坐標表示，這充分地體現了代數與幾何的穿插與滲透．

3　解析幾何中旋轉坐標變換就是矩陣代數中線性變換在幾何中的應用

矩陣是高等代數的一個重要概念，它的內容自成體系，更是研究幾何的重要工具．在解析幾何中經常要進行坐標的旋轉變換，而矩陣乘法運算的幾何意義可體現在旋轉坐標變換上．

解析幾何中二次曲面的主軸坐標變換也與代數中二次型的矩陣線性變換相聯系．

在對二次曲線或二次曲面的方程進行化簡過程中，實際上很重要的一步就是將曲線或曲面的主軸通過線性變換轉換到坐標軸上，也就是去掉方程中的交叉項，而將二次型化為標準形．而去掉交叉項的過程，也就是對直角坐標系進行旋轉變換的過程．由此，二次型線性變換所實現的方法，正是解析幾何中將一個二次曲線方程化簡的過程[5]．

4　數量積等向量乘法的運算就是行列式在幾何中的應用

通過對幾何中的向量進行代數的坐標表示，可以讓幾何中的向量關系和運算轉化為代數中的有序數組的線性關系和運算．這樣一來，復雜的幾何問題就可以簡單地用代數的方法解決，而其中，行列式可解決向量的數量積、向量積等向量乘法運算問題．

5　幾何空間中平面與直線的關系是代數中線性空間與子空間結構的幾何體現

對于學生而言，線性空間的基與維數應該說是比較抽象難懂的，向量的線性組合與線性相關性也是較難理解的，如果把它們與幾何結合起來就容易理解了．在三維空間里，基就是坐標系中坐標軸的幾何體現，維數又稱維度（dimension），指的是坐標系中坐標中的數量．任意3個不在同一平面的向量就組成線性空間的一組基，也就構成一個仿射坐標系，這樣的3個向量是線性無關的，因而是不共面的，分別構成仿射坐標系的3個坐標軸，并且線性空間里的任意一個向量都可以由它們線性表示．

同時，三維空間中的平面和其相交直線也可以幫助學生理解子空間的交、子空間的和與直和等概念，可以從幾何角度更好地理解代數的抽象概念．

6　結語

線性空間是解析幾何的靈魂[7]，是幾何學特別是解析幾何學的推廣與升華．解析幾何為抽象的線性空間提供了一個具體、生動的模型．解析幾何中視覺思維占主導地位，而代數則是數學中有序思維占主導地位的部分[8]．在此，幾何代數化，代數幾何化，二者相互穿插滲透，融會貫通，形成完整的理論體系，從而也使二者在教學過程中變得不再特別抽象難懂，更有利于教學．

[1] 曹卿驊，侯雪炯．關于高等代數與解析幾何教材合并的幾點體會[J]．玉溪師范學院學報，2001（17）：216

[2] 克萊因M．古今數學思想（三）[M]．萬偉勛，石生明，孫樹本，等，譯．上海：上海科學技術出版社，2002：245

[3] 同濟大學數學系．高等數學（下冊）[M]．7版．北京：高等教育出版社，2014：1

[4] 同濟大學數學系．高等代數與解析幾何[M]．2版．北京：高等教育出版社，2016：43

[5] 亞歷山大洛夫A D．數學——它的內容，方法和意義[M]．北京：科學出版社，2005：84-85

[6] 藍以中．高等代數簡明教程（上冊）[M]．2版．北京：北京大學出版社，2002：147-150

[7] 孟道驥．高等代數與解析幾何（上冊）[M]．2版．北京：科學出版社，2007：143

[8] 張順燕．數學的源與流[M]．2版．北京：高等教育出版社，2000：179

Interpenetrating and penetrating teaching of higher algebra and analytic geometry

DONG Kerong，SHA Xudong

（Department of Mathematics and Physics Sciences，Zibo Normal College，Zibo 255130，China）

Higher algebra and analytic geometry are required subjects of science and engineering and normal universities，and in the process of the development of mathematical knowledge，they improve each other and promote together．The problem of content arrangement was studied when the two are combined into one course．The interpenetration and penetration between higher algebra and analytic geometry are expounded from some aspects that the coordinate representation of geometric vectors is the key to the communication between algebra and geometry，the structure of the solution of the system of linear equations represents the plane relationship in geometry，rotation coordinate transformation in analytic geometry is the application of linear transformation in matrix algebra in geometry，the operation of scalar product equal vector multiplication is the application of determinant in geometry，the relationship between plane and line in geometric space is the geometric representation of the structure of linear space and subspace in algebra，and so on．It was discussed that how to make the two parts connected while keeping the relative integrity of algebra and geometry.

advanced algebra；analytic geometry；intersperse；penetrate

O151.2∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2020.11.020

1007-9831（2020）11-0101-05

2020-04-12

董可榮（1970-），女，山東淄博人，副教授，碩士，從事數學教學研究．E-mail：sfdkr@163.com