數形結合思想在高等數學教學中的應用

李偉勛，王丹

數形結合思想在高等數學教學中的應用

李偉勛，王丹

（天津職業技術師范大學 理學院，天津 300222）

針對高等數學抽象性的特點，提出采用數形結合的思想方法進行高等數學教學．結合具體實例，分別從定義理解、定理證明和計算過程等方面闡述數形結合思想方法在高等數學學習時的優越性．數形結合思想的應用，使得教育教學過程更加形象化、清晰化、具體化，在提高學生積極性的同時，加深了他們對高等數學理論知識的認識和理解．

高等數學；數形結合；幾何意義

人類正處在一個深刻變革與迅速發展的新時期，科學技術發展日新月異，互聯網信息、移動機器人等發展十分迅速，科技的發展，實際是數學的發展，大數據、云計算、深度學習等其理論基礎還是數學，所以數學對整個人類的發展起到了舉足輕重的作用．因此，作為新世紀的大學生更要學好數學課程．高等數學是大學本科理工類學生必修的一門主要基礎課，也是學習后續相關數學課程和專業課的重要工具．它對培養學生嚴謹的邏輯思維能力及分析問題、解決問題的能力等都是至關重要的，也是其它課程無法替代的．然而，在教學的過程中卻遇到了不少問題，如學生普遍感覺高等數學太難、太抽象，不易理解．如何讓學生對高等數學產生興趣，從被動接受到主動思考探索，更好地理解和掌握那些抽象復雜的概念和定理，對每一位教授高等數學的教師來說都是一個考驗和挑戰[1]．

眾所周知，數學研究的對象是數量關系和空間形式，即所謂的“數”和“形”[2]．縱觀高等數學教材的各章節，可以發現幾何問題對高等數學的學習有著一定程度的指導意義．從極限、連續到導數、微分、積分等出現數形結合的實例不勝枚舉．如通過古代數學家劉徽“割圓法”求圓的面積這一方法，對極限理論進行歸納，從而引出數列極限和函數極限等相關概念；通過引入切線斜率對導數進行闡釋，進而引出函數諸如凹凸性和單調性的一些性質；通過借助于曲邊梯形的面積對定積分的定義進行概括等[3]．

本文考慮采用數形結合的方法，將抽象的數學概念和定理具體化、形象化，使得數學課堂更加生動，在提高學生積極性的同時，加深了他們對高等數學中理論知識的認識和理解．

1　數形結合思想方法的概述

數與形作為數學領域的2大研究對象，它們就如同抽象思維和形象思維的“敲門磚”．數，顧名思義就是指比較對象之間的數量關系；形，是指事物在幾何空間的表現形式．數與形之間的關系是相輔相成的，亦是辯證統一的[4]．數形結合是指把抽象的數學語言與直觀的幾何圖形結合起來，使得原本復雜、深奧的數學問題簡單化，使得抽象、晦澀的數學問題形象化，從而達到某種程度上的優化．著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，割裂分家萬事休”．由此可窺見數形結合的重要性．

數與形作為一個事物的2種不同屬性，在某些特定條件下可以相互轉化．數形結合常用的有2種情況，即以數化形和以形變數．以數化形是指利用已經掌握的平面幾何、立體幾何等知識結合數量關系對函數圖形進行描繪．如給出一個函數關系式，可以應用導數來研究它的單調性、極值與最值、凹凸性等，由此可以較為精確地描述出函數的圖形．以形變數是指根據對題目中給出的題干和圖形等信息量的把握，將圖形的代數形式表達出來．如學習定積分及其應用時，用定積分表示給出平面圖形面積的題目，它是常規應用定積分的定義解題的逆應用．

2　高等數學教學中數形結合思想的應用

根據高等數學抽象性的特點，考慮從定義的理解、定理的證明以及計算過程的簡便性等方面闡述高等數學教學中數形結合思想的應用．

2.1　定義理解的形象化

極限概念是高等數學中最基本、最重要的概念，它是整個微積分理論的基礎，也是最抽象和難以掌握的幾個概念之一．在教學過程中，可以從數形結合角度來理解相關定義．

圖1　數列極限的幾何解釋

2.1.2函數極限函數的極限概念為[6]225：在自變量的某個變化過程中，如果對應的函數值無限接近于某個確定的數，那么這個確定的數就稱為在這一變化中函數的極限．

關于極限的定義和微分的定義都是較為抽象和難以理解的知識點，但是通過３個圖形，學生能夠較直觀地理解和掌握這些抽象的概念，充分說明數形結合對于定義的理解能夠起到很大幫助作用．另外，對于函數的單調性和曲線的凹凸性判別，函數的極值、最值等，都可以借助幾何圖像的直觀性幫助學生理解相關內容．

圖2　函數在某點極限的幾何解釋

圖3　微分的幾何意義

2.2　定理證明的清晰化

微分中值定理包括羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，簡稱微分中值三定理，是高等數學中重要的幾個定理．以拉格朗日中值定理的證明過程為例，論述幾何直觀有助定理證明的清晰化[6]225．

圖4 羅爾定理

圖5　拉格朗日中值定理

2.3　計算過程的簡便化

定積分的計算是高等數學的一個重要知識點．針對定積分的計算方法有定義法、牛頓-萊布尼茲公式、分部積分法和換元積分法等．對于特殊的填空題、選擇題這類的小題，可以選擇利用定積分的幾何意義法簡化計算過程，從而達到事半功倍的效果[8]．

圖6 曲邊梯形的面積

圖7　利用定積分的幾何意義解題

3　結語

高等數學是初等數學的延伸和擴展，所學知識也更加復雜和抽象．高等數學的學習不僅是掌握概念定理公式，更重要的是培養一種抽象思維和嚴密推理問題的能力，即學生通過借助幾何模型對抽象的概念或定理進行更直觀化的認識和理解[10]．另外，數形結合一直以來是數學教學中一個很直觀、很簡便的方法和工具．本文分別就數形在高等數學教學中的定義理解、定理證明及其簡便計算等方面的具體應用做了相應的說明和描述，從而使得解決問題更加直觀、清晰和簡便．綜上所述，教師在教學過程中可以多加運用數形結合方法進行教學．但是，鑒于數學是一門嚴謹性比較強的學科，許多定理的證明仍需要嚴密的證明過程，故提倡將數形結合作為高等數學教學中的輔助教學工具．

[1] 劉莉．數形結合法在高等數學教學中的應用研究[J]．遼寧師專學報：自然科學版，2016，18（4）：12-16

[2] 陳國蕤．基于問題的視角分析教材——以北師大版“有理數的乘法”為例[J]．數學教學研究，2012，31（8）：63-65

[3] 朱殿利．數形結合法在高等數學中的應用再探析[J]．岱宗學刊，1998（4）：23-25

[4] 方倩珊．“數”“形”結合思想在高等數學中的應用[J]．高等數學研究，2017，20（6）：54-57

[5] 郭金萍，邢佳．高等應用數學[M]．4版．天津：天津大學出版社，2012

[6] 楊莉．淺談數形結合在高等數學教學中的應用[J]．教育實踐，2020（2）：225

[7] 同濟大學應用數學系．高等數學[M]．7版．北京：高等教育出版社，2014

[8] 王艷紅．數形結合在數學解題中的應用分析[J]．數學學習與研究，2014（15）：88

[9] 鮑培文．例析數形結合思想在高等數學教學中的應用[J]．當代教育理論與實踐，2012，4（10）：74-77

[10] 朱光軍，王中興，袁功林．淺談數學概念定理的幾何意義在高等數學教學中的應用[J]．廣西大學學報：哲學社會科學版，2009，31（Z1）：128-130

The application of the combination of number and shape in higher mathematics teaching

LI Weixun，WANG Dan

（School of Science，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China）

In view of the abstract characteristics of higher mathematics，the idea of combination of number and shape in higher mathematics teaching was puts forward. Combined with specific examples，the advantages of the combination of number and shape in higher mathematics learning are expounded from the aspects of definition understanding，theorem proving and calculation process．The application of the thought makes the teaching process more visualized，clearer and more specific，at the same time of improving students′ enthusiasm，it also deepens their understanding of theoretical knowledge in higher mathematics．

higher mathematics；combination of number and shape；geometric meaning

O13∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2020.11.018

1007-9831（2020）11-0094-04

2020-06-07

國家自然科學基金項目（61703307，11526155）

李偉勛（1984-），男，江西南昌人，講師，博士，從事多智能體系統研究．E-mail：lwxjxtj@163.com