基于Crank-Nicolson差分與Newton迭代法的非線性熱傳導方程數值解法

高忠社

基于Crank-Nicolson差分與Newton迭代法的非線性熱傳導方程數值解法

高忠社

（天水師范學院 數學與統計學院，甘肅 天水 741001）

非線性熱傳導方程；隱式Euler差分法；Crank-Nicolson差分格式；Newton迭代法

1　非線性熱傳導方程

文獻[1-3]給出了一般形式的非線性熱傳導方程及數值解法．非線性熱傳導方程為

對方程（1）進行化簡，可得到

其中，邊值條件（3）是在區間兩端關于時間的溫度分布函數，初始條件（4）表示在初始時刻的溫度分布情況．本文對方程（1）在時間方向上使用隱式EULER 差分格式，空間方向上使用Crank-Nicolson差分格式，對于離散化后的代數方程組，使用NEWTON迭代法進行求解．

2　時間方向的隱式Euler方法離散

對于方程（4），在時間方向上利用隱式EULER方法離散化，得到

則式（6）變為

邊值條件離散為

3　空間方向的Crank-Nicolson差分格式方法離散

對于式（8）的二階導數使用二階中心差分算子，得到

設

其中

根據式（11）（14），有

4 差分格式的誤差分析

根據文獻[8-10]，對于差分格式進行誤差分析，由式（7）（13）（16）可知

對于式（18）中各項使用Taylor級數展開，則有

將式（19）（20）（21）代入式（18），整理化簡可得截斷誤差為

5　非線性方程的牛頓迭代法求解

記方程（23）為

綜上分析，可得Jacobian矩陣的元素為

6　數例分析

初始溫度分布滿足

圖1　導熱參數時的熱傳導三維圖形和對平面圖形

圖2　導熱參數時的熱傳導三維圖形和對平面圖形

圖3　導熱參數時的熱傳導三維圖形和對平面圖形

由圖1~3可以看出，熱量在原點處具有最高溫度分布，隨著時間、空間方向的變化溫度降低，符合熱傳導規律，說明本文所給的數值方法是合理、有效的，同時也說明該方法具有一定的實用性與可行性．

熱傳導方程的數值解法是拋物型方程求解的典型方法，同時熱傳導問題也被廣泛應用于多個科學工程領域．針對非線性熱傳導方程，本文在時間方向上使用隱式Euler 差分格式，空間方向上使用Crank-Nicolso格式對方程進行離散化，離散化后的代數方程組使用Newton迭代法進行求解，最后通過數值算例分析討論，說明該方法具有一定的實用性和有效性．

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Numerical solution of nonlinear heat conduction equation based on Crank-Nicolson difference and Newton iterative method

GAO Zhongshe

（School of Mathematics and Statics，Tianshui Normal University，Tianshui 741001，China）

nonlinear heat conduction equation；implicit Euler difference method；Crank-Nicolson difference method；Newton iterative method

O241.82

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2020.11.003

1007-9831（2020）11-0009-05

2020-06-01

國家自然科學基金項目（11561060）；甘肅省數學省級重點學科建設項目（甘學位[2018]15號）；甘肅省教育科學“十三五”規劃2020年度項目（GS[2020]GHB4815，GS[2020] GHB4825）；天水師范學院科研基金項目（CXT2019-36）

高忠社（1979-），男，甘肅寧縣人，副教授，碩士，從事小波分析及微分方程數值解研究．E-mail：gaozhongshe@126.com