2019年北京卷文科第19題的推廣與變式

劉才華

(山東省泰安市寧陽第一中學 271400)

章建躍先生在《數學教育心理學》中提到:變式就是變更對象的非本質特征的表現形式，變更觀察事物的角度或方法，以突出事物的本質特征，突出那些隱蔽的本質特征.這就要求教師在教學過程中，善于“借題發揮”， 一題多變，“以少勝多”,引導學生從不同的角度出發，對題目本身進行相應地理解以及挖掘，這對于提升學生的邏輯推理和數學運算等核心素養有著極大的幫助.下面對2019年北京市文科第19題進行推廣與變式，供教學參考.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設O為原點，直線l:y=kx+t(t≠1)與橢圓C交于兩個不同點P,Q，直線AP與x軸交于點M，直線AQ與x軸交于點N.若|OM|·|ON|=2，求證：直線l經過定點.

將試題推廣到一般的橢圓，我們得到如下

如果將命題1的條件和結論互換，我們得到如下

證明設P(x1,y1)，由橢圓的對稱性得Q(-x1,-y1).

若將命題1中橢圓的上頂點換為右頂點，我們得到如下:

如果將命題3的條件和結論互換，我們得到如下:

仿照命題2的證明過程給出命題4的證明，過程從略.

若將命題3中的橢圓改為雙曲線，我們得到如下:

如果將命題5的條件和結論互換，我們得到如下:

仿照命題3、4的證明過程給出命題5、6的證明，過程從略.

如果將命題1中的橢圓改為圓，我們得到如下

命題7 設O為原點，直線l:y=kx+t(t≠b)與圓x2+y2=R2(R>0)交于兩個不同點P,Q，A(0,R)為圓C與y軸的交點，直線AP與x軸交于點M，直線AQ與x軸交于點N.若|OM|·|ON|=R2，則直線l經過定點O.

如果將命題7的條件和結論互換，我們得到如下:

命題8 設O為原點，直線l:y=kx與圓x2+y2=R2(R>0)交于兩個不同點P,Q，A(0,R)為圓C與y軸的交點，直線AP與x軸交于點M，直線AQ與x軸交于點N，則|OM|·|ON|=R2.

仿照命題1、2的證明過程給出命題7、8的證明，過程從略.