基本不等式在高考題中的應用

賈 林

(江蘇省蘇州市昆山市周市高級中學 215300)

基本不等式及其應用是高中數學中的一個重要知識點，作為一個基本工具，用來破解一些相關問題的最值或取值范圍問題，一直是高考數學中的一個熱點與交匯點.本文僅就2018年高考題，看一下基本不等式在各種題型中的應用.

一、代數式的最值問題

點評在求解相應代數式的最值問題時，要結合代數式的特征加以合理變形，創造利用基本不等式的條件，主要通過配方、拆添項、配湊因子和平方等技巧變形，確定“一正、二定、三相等”的條件，進而利用基本不等式來確定最值即可.

二、三角函數的最值問題

例2(2018·全國Ⅰ理·16)已知函數f(x)=2sinx+sin2x，則f(x)的最小值是____.

分析通過三角關系式的巧妙轉化，再結合配湊，同時利用基本不等式來處理兩個平行的三角關系式，進而得以確定相應的最值問題.

點評基本不等式也是解決三角函數最值的一大工具，其解決的思維關鍵是巧妙進行轉化，特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數)、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用.

三、解三角形的最值問題

例3(2018·江蘇·13)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD=1，則4a+c的最小值為____.

點評在利用基本不等式破解解三角形問題時，關鍵是利用三角形的特征來建立有關邊、角的定值問題，為利用基本不等式提供條件.對于解三角形與基本不等式的交匯與綜合，是兩者考查的熱點之一，是命題者比較熱衷的考點之一.

四、圓錐曲線的最值問題

綜上分析，可知當m=5時，點B橫坐標的絕對值最大為2，故填：5.

點評圓錐曲線中的最值問題的破解，基本不等式是其中一個重要工具，也是圓錐曲線最值求解的最常見的思維方式之一，解決問題的關鍵也是建立相應的定值條件，注意參數的取值情況，利用基本不等式時要考慮相應的條件與圓錐曲線限制條件之間的關系.

五、綜合應用的最值問題

分析常規方法是利用幾何法，結合單位圓、平面向量、三角函數、點到直線的距離公式等，解決起來比較繁瑣.而利用不等式的相關知識來轉化與處理，顯得簡單快捷.

點評通過本題的解析過程可知，這里根據絕對值關系式的性質，用到的相關數學知識：(1)絕對值不等式的性質；(2)基本不等式的變形公式；(3)排序不等式等.用到相關不等式的性質時，巧妙性較強，思維方式獨特，具體求解過程中往往難以涉及.而利用以上求解過程，處理起來更為簡單快捷.

基本不等式的應用可以非常有效快捷地解決一些最值或取值范圍問題，在歷年高考中出現的頻率非常高，難度有時大有時小.正確掌握基本不等式以及對應的變形公式，并會根據題目條件加以合理轉化與變形，為創設利用基本不等式的應用提供條件，并不斷拓展解題視點，開拓解題思維，提升數學能力.