巧找“隱形圓”解決高中數學問題的研究

周根虎

(甘肅省靜寧縣文萃中學 743400)

圓通常具有較強的對稱性，且圓還具有較多的重要性質與結論.高中數學題的解決中，如果能深層次挖掘到相關信息，在解題時，就會產生事半功倍的教學效果.但是，在具體操作的過程中，數學教師通常會發現許多的試題表面和圓沒有聯系，但是，經過相應的變形或者轉化，就能夠轉化成和圓相關的問題，這也能充分呈現出化歸思想和數形結合的數學解題方法.因此，高中數學的具體教學中，教師需注重引導學生巧妙的找到“隱形圓”，以促使學生順利完成數學問題的解決，從而實現高效教學與學習.基于此，本文主要對運用“隱形圓”在高中數學的注意事項進行分析，并提出巧找“隱形圓”對數學問題實施解決的策略，從而確保學生解題效果的提高.

一、巧找“隱形圓”解決高中數學問題的注意事項

1.注重多元表征實施

數學知識表征的方式有許多，例如語言表征、符號表征、操作表征、情境表征、圖形表征等，其中，最為重要的就是代數表征與幾何表征.同時，數學知識的轉化與聯系更為豐富多彩.希爾伯特曾說過，數學寶藏通常是無窮無盡的，如果解決一個問題，就會相應出現無數個新問題取而代之.而G·波利亞曾說過，問題如果不變化，就會有什么進展.因此，在高中數學的具體教學中，其更要求“變”，指導學生在四周看看，尋找到各種表征形式，構建多元化表征體系，將零散內容，也就是關聯性不強的內容進行組織與銜接.例如，兩直線垂直，可通過斜率表征、勾股定理表征、向量表征.又比如，對a+1/a≥2(a>0)，通過基本形式實施幾何轉化與代數換元，并獲得足夠的結論，命制不一樣的問題.

2.注重數學本質的挖掘

對于高中數學知識而言，其雖然有多種多樣的表征方式，但是，大部分數學知識本質上是統一的.多元表征屬于基礎，統一本質就是進一步的深入.在各種表征方式當中找到內在的線索與關聯，對其相同的本質屬性進行挖掘，其屬于“變中不變”的哲學思想表現.對于數學問題而言，其有的時候雖然表征有很多變化，但仍舊是冰山一角，只有對其不變的本質進行深入挖掘，才能真正的掌握到數學問題的本質，并更好的實現數學問題的轉化與聯系.因此，高中數學的教學中，數學教師需注重引導學生進一步的探究，對數學本質進行深層次的尋找，構建出統一本質的認識，將其根本的屬性進行挖掘與提煉.例如，f(x)是定義于R上的，以3為周期的奇函數，同時，f(2)=0，假設方程f(x)=0位于區間(0,6)的根的個數是m，求數值m的最小值.該問題主要是讓學生清楚的認識到函數的奇偶性與周期性的本質，也就是對圖象與定義的特征進行解析，以確保數學問題的順利解決.

二、巧找“隱形圓”解決高中數學問題的策略

在高中數學的試題中，常常會有一些“隱形圓”，通過對問題進行全面的分析，巧妙的找出其中的“隱形圓”，將復雜、抽象的數學代數問題轉化為直觀的圓形問題，然后運用相關的知識進行問題的解決，往往能夠起到事半功倍的作用.

1.基于雙變量轉化的“隱形圓”挖掘

該題中的已知條件當中有兩個變量，且均處于根號內，經過觀察可以把兩個根式進行分別換元，把已知的條件轉變成圓的方程，以此將原先的數的問題轉變為形的關系，以找出“隱形圓”，促使解題難度得到有效降低，并促使學生具備的數形轉化的能力得到有效加強.

2.基于阿波羅尼斯圓的“隱形圓”挖掘

3.基于圓性質問題的“隱形圓”挖掘

例3 如果過點P(1,-2)作出圓C：(x-1)2+y2=1的切線，切點是A與B，那么直線AB的方程是____.

該題的出發點就是指圓心和切點連線和切線之間互相垂直，并通過圓的直徑，對于圓周角是90°，將其轉變成四點共圓的狀況進行處理.但是，在對實際問題進行解決的時候，學生首先的想法就是設直線，將其與方程進行聯立，并試圖求取到切點，該方法雖然在理論上具有可行性，但是，在具體操作時，卻較為繁瑣，就會影響到學生做題的成功率.而通過坐標法進行問題的解決，不僅會使學生的運算量得到有效減少，而且還能實現事半功倍的教學效果.

綜上所述，通過隱形圓對數學問題進行解決，通常是得到廣泛應用的一種解決方法，該解決法的運用關鍵就是對已知的條件實施細致觀察，以找到隱形圓，這不僅能夠開闊學生的視野與思維，而且還能使學生的解題能力得到有效提高，并在數學教學質量與效率得到有效提高的同時，促使學生實現高效解題.