例談一題多解在解析幾何中的應(yīng)用

于慶麗

(江蘇省宿遷市泗洪姜堰高級中學 223900)

新課程視野下高考命題秉持素養(yǎng)立意，多以策略性知識為背景，考查學生必備知識、關(guān)鍵能力、學科素養(yǎng)和核心價值，就數(shù)學而言最核心的價值就是發(fā)展學生的數(shù)學素養(yǎng)和提高解決問題的能力.數(shù)學名家說過，問題是數(shù)學的心臟，思維是數(shù)學的靈魂，而方法則是數(shù)學的行為，從一個經(jīng)典的，簡明的數(shù)學問題出發(fā)，把數(shù)學冰冷的美麗轉(zhuǎn)化成數(shù)學火熱的思考.通過多角度，全方位的觀察、感知、分析、嘗試、提煉、綜合，使得數(shù)學的思考從聯(lián)系、到聯(lián)通，再到思維的有效對接，能夠很好地優(yōu)化解題思路，提升分析問題解決問題的能力.近幾年解析幾何在高考中對計算能力的考查逐年加大，而好的解法能夠簡化運算，所以在平時教學中要注重一題多解在解析幾何中的應(yīng)用，可以從不同的角度去思考和分析問題，在多種解法中去尋求通解和優(yōu)解.

(1) 求橢圓C的標準方程；

(2) 如圖，過點C(0，1)且斜率大于1的直線l與橢圓交于M，N兩點，記直線AM的斜率為k1，直線BN的斜率為k2，若k1=2k2，求直線l斜率的值.

分析(1)根據(jù)已知條件，建立方程組，求出a，b，即可得到橢圓的標準方程.

(2)設(shè)出直線l方程為y=kx+1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，將直線l方程與橢圓方程聯(lián)立，求出x1+x2和x1x2，根據(jù)條件求出k1和k2，代入k1=2k2化簡計算，得到關(guān)于k的方程，解方程求出k的值.

(2)解法一(通過兩邊平方轉(zhuǎn)化成韋達定理形式)

由橢圓的對稱性可知直線l的斜率一定存在，設(shè)其方程為y=kx+1.

設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2).

又因為M(x1，y1)，N(x2，y2)在橢圓上，

即3x1x2+10(x1+x2)+12=0.

解法二(通解)

由橢圓的對稱性可知直線l的斜率一定存在，設(shè)其方程為y=kx+1.

設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2).

kx1x2+(2k+2)(x1+x2)+(2k-3)x2+6=0,

2(kx1+1)(kx2+1)=-3(x1+2)(x2+2),

(2k2+3)x1x2+(2k+6)(x1+x2)+14=0.

解法四(將直線AM與橢圓方程聯(lián)立，解出M、N)