利用伸縮變換解決橢圓中一些線段長(zhǎng)度乘積問(wèn)題

李 寧 唐盛彪

(海南省海南中學(xué) 571158)

由圓冪定理，有|M′A′|·|M′B′|=|M′C′|·|M′D′|，從而|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.

設(shè)kAQ=kOP=k，則

設(shè)圓C′與X軸的另一交點(diǎn)為B′，由于∠B′O′R′=∠B′Q′R′=90°，從而B(niǎo)′,O′,Q′,R′四點(diǎn)共圓. 由圓冪定理，有|A′Q′|·|A′R′|=|A′O′|·|A′B′|=R·2R=2R2=2|O′P′|2，其中R為圓C′半徑.

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，因此直線l的斜率存在，設(shè)其為k.

對(duì)于直線與橢圓相交時(shí)的|PA|·|PB|問(wèn)題，或者直線與橢圓相切時(shí)的|PT|2問(wèn)題，可借助伸縮變換，將橢圓變?yōu)閳A，借助圓冪定理從幾何角度便利解決，避免了代數(shù)解法的繁雜計(jì)算. 同時(shí)，借助伸縮變換，還可以將前3個(gè)例題向一般情形作推廣.

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