例談求解圓的方程常用方法

杜紅全

(甘肅省康縣教育局教研室 746500)

圓是簡單的二次曲線，是高中數(shù)學的一個基本內(nèi)容，也是高考?？嫉膬?nèi)容，會求圓的方程才是硬道理.下面舉例說明求圓的方程的常用方法，供參考.

一、直接法

直接法就是根據(jù)圓的定義，利用已知條件，確定圓心坐標和半徑，直接求出圓的標準方程.

例1求滿足下列條件的圓的方程：

(2)經(jīng)過點P(5,2)，圓心是點C(4,-1).

分析根據(jù)題設(shè)條件，可利用圓的方程的定義來解決.

點評確定圓的標準方程只需要圓心的坐標和圓的半徑即可，因此圓心和半徑是圓的兩要素.

二、幾何性質(zhì)法

幾何性質(zhì)法就是通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓和圓的位置關(guān)系，求出圓心坐標與半徑，從而得到圓的標準方程. 常用的幾何性質(zhì)有：圓心與切點的連線垂直于切線；圓心到切線的距離等于圓的半徑；圓的弦的垂直平分線過圓心；兩條弦的垂直平分線的交點為圓心等.

例2 求過點A(1,-1)和B(-1,1)，且圓心在直線x+y-2=0上的圓的方程.

分析利用圓的幾何性質(zhì)求出圓的圓心和半徑后，再寫出方程.

點評一般地，在解決有關(guān)圓的問題時，有時利用圓的幾何性質(zhì)作轉(zhuǎn)化較為簡單，充分體現(xiàn)了解析幾何問題的代數(shù)方法和幾何方法的有機結(jié)合的特點.本題還可以用待定系數(shù)法求解.

三、待定系數(shù)法

圓的方程中，有三個獨立系數(shù)，因此必須具備三個獨立條件才能確定一個圓，確定系數(shù)的方法就是待定系數(shù)法.待定系數(shù)法就是先設(shè)出圓的方程，然后根據(jù)條件求出方程中的參數(shù).

1. 設(shè)圓的標準方程

分析可設(shè)出圓的標準方程，再把A,B兩點的坐標代入，用待定系數(shù)法求解.

點評如果由已知條件容易求得圓心坐標、半徑或需要利用圓心的坐標或半徑列方程問題，一般采用圓的標準方程，再用待定系數(shù)法求出a,b,r.本題還可以用幾何性質(zhì)法求解.

2.設(shè)圓的一般方程

例4 已知△ABC的三個頂點為A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),求△ABC的外接圓方程.

分析已知三個頂點都在圓上，可采用圓的一般方程，利用待定系數(shù)法求出圓的方程.

點評如果已知條件與圓心和半徑都無直接關(guān)系，通常采用圓的一般方程，再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D,E,F；本題還可以用幾何性質(zhì)法求解.

四、利用圓的直徑式方程

已知一個圓的一條直徑的端點是A(x1,y1)，B(x1,y1)，則圓的方程可表示為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0，此方程稱為圓的直徑式方程.

例5 求過直線2x+y+4=0和圓x2+y2+2x-4y+1=0的交點，且面積最小的圓的方程.

分析設(shè)直線和圓的交點為A，B，面積最小的圓是以AB為直徑的圓.故可以利用圓的直徑式方程求解.

點評求解本題的關(guān)鍵是知道面積最小的圓是以直線和圓的交點為直徑的圓，此題雖然還可以利用圓的性質(zhì)求出圓心的坐標和半徑求解，但是用圓的直徑式方程求解比較簡便.當然本題還可以用過直線與圓交點的圓系方程求解.

五、利用圓系方程

具有某種共同性質(zhì)的圓的集合叫做圓系，含有參數(shù)的圓的方程稱為圓系方程.常用的圓系方程類型有以下幾種：

(1)同心圓系①以(a,b)為圓心的同心的圓系方程為(x-a)2+(y-b)2=λ2(λ為參數(shù)，λ>0)；②與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0同心的圓系方程為x2+y2+Dx+Ey+λ=0(λ為參數(shù))；同心圓系圖形特點是位置相同，大小不同.

(2)半徑相等的圓系方程為(x-m)2+(y-n)2=r2(m、n為參數(shù))，圖形特點是大小一樣，位置不同.

(3)過直線與圓交點的圓系方程.設(shè)直線l:Ax+By+C=0與圓C:x2+y2+Dx+Ey+F=0相交，則方程x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ為參數(shù))表示過直線l與圓C的兩個交點的圓系方程.

(4)過兩圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交點的圓系方程為x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ為參數(shù)，λ≠-1，且不含圓C2)，特別提示：①由于該圓系方程不包括圓C2，因此直接應(yīng)用該圓系方程必須檢驗C2是否滿足題意，謹防漏解；②當參數(shù)λ=-1時，該方程為過兩圓交點的一條直線方程：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.

例6 有一圓與直線l:4x-3y+6=0相切于點A(3,6)，且圓經(jīng)過點B(5,2)，求此圓的方程.

分析將點A(3,6)視為“點圓”:(x-3)2+(y-6)2=0，然后利用過直線與圓交點的圓系方程求解.

解根據(jù)題意可設(shè)所求圓的方程為(x-3)2+(y-6)2+λ(4x-3y+6)=0，把點B(5,2)的坐標代入方程，解得λ=-1.所以所求圓的方程為x2+y2-10x-9y+39=0.

點評所謂“點圓”就是半徑為0的圓，所以一個孤立的點C(a,b)的圖形可以看成“點圓”，即點C(a,b)的圓的方程可表示為(x-a)2+(y-b)2=0，在求與已知直線或已知圓相切于某一已知點的圓的問題時，把切點視為“點圓”是一個重要方法技巧.本題還可用幾何性質(zhì)法和待定系數(shù)法求解.

例7 求以圓C1:x2+y2-12x-2y-13=0和圓C2:x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦為直徑的圓的方程.

分析可先求公共弦所在直線的方程，再利用過兩圓交點的圓系方程求解.

點評一般地，求過兩個圓交點的圓的方程利用圓系方程求解比較簡捷，應(yīng)學會使用此法.本題還可先求出公共弦的端點坐標，再得所求圓的方程.