基于激發學生深度思維的課程設計思考
——以高等代數概念學習為例

張錦添 顧勇為

（信息工程大學基礎部 河南·鄭州 450001）

高等代數是具有高度抽象性同時邏輯性極強的一門數學學科，在學習過程中，不僅需要學生從知識層面理解和掌握高等代數的基本概念、基本理論和基本方法，更要慢慢培養較強的抽象思維和創造性思維能力。這就要求教師在日常教學中注重對學生深度思維能力的訓練，這對提高數學核心素養和課堂教學質量具有重要的意義。因此，以激發深度思維，促進學生深度學習為目標，針對高等代數的概念學習進行了策略分析，通過學科的發展背景、知識的研究發現和興趣的激發驅動等層面，培養學生思維的發散性、創造性和深刻性，逐漸探索以學科方法論引領思維、以研究式教學激發興趣的教學體系。

1 以學科的發展背景培養發散思維

高等代數本身是一個迷人的數學學科，具有悠久的研究和發展歷史，而數學發展史的背后更重要的是知識發展的客觀規律。數學發展史妙趣橫生的介紹，相關知識概念的觸類旁通，知識點的串聯，不僅僅給學生帶來代數學習的熱情，更重要的是幫助他們建立對知識更宏觀的認識，從歷史發展角度感知科學進步，從具體方法層面體會深層次規律。學科方法論比知識本身更重要，一個數學問題的提出，數學家前赴后繼的多角度分析、思考、佐證和解決，這個過程能夠揭示知識的發生過程和方法的形成過程，引發和調控學生的思維活動，在這樣的思維活動中，體驗數學、感悟數學、走進數學。

具體到高等代數的某次課程設計，在引入向量概念的過程中，先介紹向量的歷史起源。向量最初被應用于物理學，很多物理量如力、速度、位移以及電場強度、磁感應強度等都是向量。大約公元前350年前，古希臘著名學者亞里士多德就知道了力可以表示成向量，兩個力的組合作用可用著名的平行四邊形法則來得到。最先使用有向線段表示向量的是英國大科學家牛頓。18世紀末期，挪威測量學家威塞爾用平面坐標上的點表示復數，并利用復數運算定義了向量的運算。19世紀80年代，英國數學家居伯斯在三維空間中定義了向量，并把向量概念引入到微積分，豐富和發展了解析幾何。通過這些歷史背景和生活場景，使學生對以往接觸的向量的概念獲得一個綜合印象，對知識的把握更為形象化，產生更為深刻的感性認識，消除對向量陌生抽象的感受，

2 以知識的研究發現引導主動思考

高等代數的很多概念都具有高度的抽象性，學生從中學階段接觸的二維平面、三維空間問題，拓展到高等代數中n維向量的情形，缺乏幾何直觀，對于概念的理解和方法的掌握都是十分困難的。如果只是按照教材知識結構模式進行灌輸教學，會讓學生感到知識的晦澀和學習的被動。因此在教學過程中，我們嘗試重新組織編排教材中的知識點和教學順序，從具有實際生活場景的例子入手，引導學生去發現已有知識的瓶頸，從懸念出發引導大家主動思考求解方法。從研究的角度，讓同學們自己探索，不再是被動、機械地接受理論，而是通過對問題的思考自行研究發現知識。

以高等代數第四章的最大無關組的概念介紹為例。人類總是在尋找構成世界的基本元素，從金木水火土，到元素周期表。向量組，特別是包含無窮多個向量的向量組，有沒有較少的一些元素，或說較少的一些向量，可以生成整個向量組呢？最大無關組正是由這樣的一些代表元素所構成，一方面它們可以線性表示出整個向量組；另一方面如果它們其中減少了一個，就不足以線性表示出整個向量組了，即一個都不能少。另外，最大無關組不是唯一的。這個數學概念，可以從生活中的很多實際問題出發便于理解。比如，人們吃飯要講究營養搭配，需要淀粉、蛋白質、脂肪、維生素，那么可以選擇A套餐：米飯、雞蛋，炒肉、蘋果。也可以選擇B套餐：面條、豆腐、雞腿、桔子。每個套餐中各種食材具有不同的營養成分（類似于線性無關），而且營養套餐不唯一（類似于最大無關組不是唯一的）。

一個典型的問題是，已知一個向量組的每個具體向量，求該向量組的最大無關組，并把不屬于最大無關組的向量用最大無關組線性表示。為了解決這個問題，先進行基本的理論鋪墊，證明以下命題：對一個矩陣作行初等變換，不改變列向量組的線性相關性。有了該命題，從已有知識困境中出發，一步步引導學生采用初等變換法解決問題，將向量組的所有向量按列組合出一個矩陣，對該矩陣做行初等變換，成為行最簡形矩陣，從行最簡形矩陣找出列向量組之間的線性關系，而此關系與行初等變換之前的列向量組之間的線性關系是一致的。通過簡單形象的例子引出研究的根源，從問題出發設置懸念，隨著新知識和新概念的引入，慢慢剝離出解決問題的過程，從而使學生的思維從被動式接受轉變為主動式思考，充分調動學生的專注力和學習熱情，師生互動更為自然有效。

3 以興趣的激發驅動促進深度學習

興趣是求知的先導，是驅動課堂的動力。學習興趣的培養一方面需要形式上的新穎活潑，另一方面在更深層次上要滿足學生對思維收獲的追求。在傳統的課堂中，教師習慣用自己的預設方案將學生的思維控制在某個無形的空間中，學生更多時候扮演著遵從者和執行者的角色。這種教學模式會讓學生感到效率不高、收獲不大。因此在日常教學中，我們注重在知識實際應用的真實情境中呈現知識，把學與用結合起來，以學生為中心，充分調動他們的積極性，讓學生像數學家發現知識一樣進行思考。學生的學習過程不僅僅以知識的理解和應用為任務，而是從中體會知識創造過程中的共性，同時也是科研創新能力的基礎。

在n元線性方程組解的結構的學習中，我們就創設了幾何空間情境幫助學生理解、激發學生興趣。三維空間是現實的空間，直觀可見。一個三元線性方程在此空間中表示一個平面，是二維空間。我們可以理解為，一個方程相當于一個約束，三維空間給一個約束，降為二維。兩個線性方程組成的方程組，相當于三維空間給兩個約束，降為一維，成一條直線。三個線性方程組成的方程組，三維空間給三個約束，降為0維，成為一個點。n個未知數m個線性方程組成的方程組的解是什么情況呢？n個未知數組成的向量存在于在n維空間中，如果不給約束，就充滿整個n維空間。現在給了m個方程，是不是減少m維呢？不是的。這m個方程中存在一些等價重復表達。只有經過同解變形，成為r個有效方程（或稱獨立方程）后，這些方程才是相互獨立不能相互取代的。因此，實際上n維空間減少了r維，成為了n-r維空間，這正是解空間的基本情況。

在當今時代背景下，教育目標的新要求應運而生，因此迫切需要通過教學模式的深刻變革，建設與之相匹配的教學形態。我們通常將教學過程中全要素組合所表現出來的一系列特征稱之為教學形態，主要由教學模式、教學方式、學習方法、考核評價、師生關系等構成。厘清教學的新形態，不僅意味著從技術層面探討各種教學手段的運用，也從內容層面探討課程知識、教學方式的轉變，在技術與內容的基礎上，還從理念層面研究在教學實施過程中對學生產生的影響以及隨之而來的價值觀、教育觀、學習觀的轉變，探明學生、教師、院校等教育主體被賦予的新角色，進而真正實現多方面深層次的融合。

為適應學生對知識的全新要求，高等院校的教育者應專注于教學內容的創新實踐、教學模式的重塑改造、教學方法的變化革新，將傳統教育中想要完成但無法完成或者完成度不高的事情進行升級改造。比如說，教育重點從傳統的基礎知識技能培養轉向創新能力素質和創造性思維的培養，教育方式從標準統一到個性定制，教學周期從固定學制和時間的學歷性教育到長期隨時的終身學習教育。在轉變過程中，作為知識的傳授者和思想的傳播者，教師將在教育全要素流程中發揮出至關重要的作用，推動新型教學形態乃至是整個教育生態體系的更新與創建。

隨著對教學的思考探索，我們更加深刻地意識到教師絕不僅僅是教書匠，教授一門課絕不是簡單的講教材，培養學生更不是簡單的滿堂灌，在教學中不僅要傳道授業解惑，更重要的是培養學生的思維方式和學習方法。在以思維引領、激發興趣的教學理念引導下，對高等代數的概念學習進行了初探，我們將持續努力，在深度和廣度上進一步發展，促進學生的深度學習，不忘育人初心，提升育人質量。