活用直線系 巧解直線方程

■姜 艷

所謂“系”方程,就是具有某種共同特征或性質的曲線,其方程可用一種統一的方程形式來表示,其實質就是參數法,即設而不求、整體思想的具體應用。靈活運用“系”方程,解決直線問題,可以簡化運算、降低難度,提高解題效率。

一、直線系方程的常見類型

(1)過定點的直線系:直線y-y0=k(x-x0)(k 為參數)表示過定點(x0,y0)的直線系,特別地,當斜率k 不存在時,直線x=x0過定點(x0,y0)。直線y=kx+b(k為參數,b 為常數)表示過定點(0,b)的直線系,特別地,直線x=0過定點(0,b)。(2)定斜率的直線系:直線y=kx+b(k 為常數,b為參數)表示斜率為k 的互相平行的直線系。平行于已知直線Ax+By+C=0 的直線系方程是Ax+By+λ=0(λ 是參數且λ≠C);垂直于已知直線Ax+By+C=0 的直線系方程是Bx-Ay+λ=0(λ 是參數)。(3)過兩直線交點的直線系:過兩條已知直線l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交點的直線系方程是A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R,但不包括l2)。

二、直線系方程的應用

例1 已知直線方程為(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0。求證:不論m 為何實數,直線過定點。

例2 已知直線l1與直線l2:x-3y+6=0 平行,l1能和x 軸、y 軸圍成面積為8的三角形,請求出直線l1的方程。

例3 求經過點A(2,1),且與直線2x+y-10=0垂直的直線方程。

解：因為所求直線與直線2x+y-10=0垂直,所以設該直線方程為x-2y+c=0。又直線過點A(2,1),所以2-2×1+c=0,解得c=0。故所求直線方程為x-2y=0。

例4 已知兩條直線l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交點為P,求過點P 且與直線l3:3x-4y+5=0垂直的直線l的方程。

解：(方法1)設所求直線l 的方程為4x+3y+c=0。由l1與l2組成的方程組可得到交點P(0,2),將其代入方程可得c=-6。故直線l的方程為4x+3y-6=0。

(方法2)設所求直線l 的方程為x-2y+4+λ(x+y-2)=0,即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0。因為直線l 與l3垂直,所以3(1+λ)-4(λ-2)=0,可得λ=11,所以直線l的方程為4x+3y-6=0。

例5 已知三角形三邊所在的直線方程分別為2x-y+4=0,x+y-7=0,2x-7y-14=0,求邊2x-7y-14=0 上的高所在的直線方程。