巧用分類討論法學好一元一次方程應用題

文 馬 彬

在初中數學中，如何解決一元一次方程應用題是一個綜合性的難題，學生常常會感到陌生，并且不知道從哪里入手，常常表現為胡亂解題、不理解題意以及考慮問題不全面等，而分類討論可依據分類標準，將問題分成幾種情形或類型，逐一解決。下面列舉幾個常見的題型供同學們借鑒。

類型一 圖表信息題

例1某水果批發市場香蕉的價格如下表：

購買香蕉數（千克）不超過20千克20千克以上但不超過40千克40千克以上每千克單價6元5元4元

小強兩次共購買香蕉50千克（第二次多于第一次），共付出264元。請問小強第一次、第二次分別購買香蕉多少千克？

解：設小強第一次購買香蕉x千克，則第二次為（50-x）千克，

①當0＜x≤10時，則40≤50-x＜50，根據題意，得6x+4（50-x）=264。解得x=32（舍去）；

②當10＜x≤20時，則30≤50-x＜40，根據題意，得6x+5（50-x）=264。解得x=14，50-x=36；

③當20＜x＜25時，則25＜50-x＜30，根據題意，得5x+5（50-x）=264。方程無解。

答：小強第一次購買香蕉14千克，第二次購買36千克。

【點評】此題是圖表類應用題，關鍵是正確理解題意，找到分類依據，尋求其等量關系。

類型二 打折問題

例2某書店推出售書優惠方案：①一次性購書不超過100元，不享受優惠；②一次性購書超過100元但不超過200元，一律打九折；③一次性購書超過200元，一律打八折。如果小明同學一次性購書付款162元，求小明所購書的原價是多少？

解：設這些書的原價是x元，因為200×0.9=180，200×0.8=160，160＜162＜180，可能有兩種情況：

①享受9折時，0.9x=162。解得x=180；

②享受8折時，0.8x=162。解得x=202.5。

答：小明所購書的原價為180元或202.5元。

【點評】此題是實際生活中的折扣問題，關鍵是運用分類討論的思想分析清楚付款打折的兩種情況。

類型三 行程問題

例3某學校七年級學生步行旅游，一班學生組成前隊，步行速度為4千米/時，二班學生組成后隊，速度為6千米/時。前隊出發1小時后，后隊才出發，同時后隊派一名聯絡員騎自行車在兩隊之間不間斷地來回進行聯絡，他騎車的速度為12千米/時。

（1）后隊追上前隊需要多長時間？

（2）后隊追上前隊時間內，聯絡員走的路程是多少？

（3）兩隊何時相距2千米？

解：（1）設后隊追上前隊需要x小時，根據題意，得6x=4（x+1）。解得x=2。

答：后隊追上前隊需要2小時。

（2）后隊追上前隊時間內，聯絡員走的路程就是在這2小時內所走的路，所以12×2=24（千米）。

答：后隊追上前隊時間內，聯絡員走的路程是24千米。

（3）設二班需y小時與一班相距2千米。

要分兩種情況討論：

①追上之前，兩班相距2千米，得6y+2=4（y+1），解得y=1；

②追上之后，兩班再次相距2千米，得6y=4（y+1）+2，解得y=3。

答：當1小時后或3小時后，兩隊相距2千米。

【點評】本題是行程類應用題，解題的關鍵是弄清追及問題中每個運動因素所走的時間、路程、相對速度，難度較大。

我們發現，分類討論是將一個復雜的問題按照一定的標準分成幾個部分進行討論，最后得出完整答案的解題思想。